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Janauschek, Barbara (2014): Singulärstetiges Spektrum kugelsymmetrischer Diracoperatoren. Dissertation, LMU München: Fakultät für Mathematik, Informatik und Statistik
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Abstract

The physical picture of particle behaviour that arises from experimental data is that it belongs to one of the following: Either the particle always stays near the origin or the particle comes from infinity, is scattered and escapes to infinity. In the quantum mechanical description these two categories of behaviour are associated with point spectrum and absolutely continuous spectrum respectively. The corresponding spectral measures are point measures or absolutely continuous measures. According to general results of the measure theory a measure can be decomposed in three parts: a pure point part, an absolutely continuous part and a singular continuous part. In contrast to the well-known particle behaviour of the other two types of spectrum, the singular continuous spectrum is more difficult to interpret. For the Schrödinger operator D.B. Pearson constructed an explicit class of potentials that give rise to purely singular continuous spectrum . This example allows the interpretation of the particle behaviour: The particle moves arbitrarily far away from the origin but it feels nevertheless the effect of the potential. Therefore it will recur infinitely often to the vicinity of the origin to run off infinitely often. The result for the Schröodinger operator leads to the question whether there can be found similar results in relativistic quantum mechanics. The aim of this paper is to construct for the first time an explicit potential for the Dirac operator that has purely singular continuous spectrum in (-\infty,-1)\cup (1,\infty). The characteristic trait of this potential is that it consists of bumps whose distance is growing rapidly. This allows the particle to depart from the origin arbitrarily far. But the overall effect of the bumps will always lead the particle back to the origin.

Abstract

In der Experimentalphysik beobachtet man einerseits gebundene Zustände und andererseits Streuzustände. Diesen Zuständen ordnet die klassische Quantenmechanik folgende Spektren zu: Punktspektrum und absolutstetiges Spektrum. Die zugehörigen Spektalmaße sind Punktmaße bzw. absolutstetige Maße. In der Maßtheorie ist statuiert, dass jegliches Maß in drei Bestandteile zerlegt werden kann, nämlich ein Punktmaß, ein absolutstetiges Maß und ein singulärstetiges Maß. Wie läßt sich dieses singulärstetige Spektrum in der Quantenmechanik interpretieren? Für den Schrödingeroperator wurde durch D. B. Pearson eine explizite Potentialklasse konstruiert, die eine Interpretation des Teilchenverhaltens ermöglicht: Bei singulärstetigem Spektrum entfernt sich das Teilchen beliebig weit vom Ursprung, es kehrt aber auch beliebig oft zum Ursprung zurück. Gegenstand der vorliegenden Arbeit ist die Konstruktion einer Potentialklasse, die für Diracsysteme außerhalb der zentralen Lücke [-1,1] rein singulärstetiges Spektrum aufweist. Kennzeichnend für diese Potentiale sind Buckel, deren Abstände immer größer werden. Aufgrund der großen Abstände zwischen den Buckeln kann sich das Teilchen beliebig weit vom Ursprung entfernen. Die Gesamtheit der Potentialbuckel führt jedoch auch dazu, dass das Teilchen unendlich oft in Ursprungsnähe zurückkehren muß. Mit den in der vorliegenden Arbeit konstruierten Potentialen konnte erstmals ein solches Beispiel in der relativistischen Quantenmechanik nachgewiesen werden.