Wiencierz, Andrea (2013): Regression analysis with imprecise data. Dissertation, LMU München: Faculty of Mathematics, Computer Science and Statistics
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### Abstract

Statistical methods usually require that the analyzed data are correct and precise observations of the variables of interest. In practice, however, often only incomplete or uncertain information about the quantities of interest is available. The question studied in the present thesis is, how a regression analysis can reasonably be performed when the variables are only imprecisely observed. At first, different approaches to analyzing imprecisely observed variables that were proposed in the Statistics literature are discussed. Then, a new likelihood-based methodology for regression analysis with imprecise data called Likelihood-based Imprecise Regression is introduced. The corresponding methodological framework is very broad and permits accounting for coarsening errors, in contrast to most alternative approaches to analyzing imprecise data. The methodology suggests considering as the result of a regression analysis the entire set of all regression functions that cannot be excluded in the light of the data, which can be interpreted as a confidence set. In the subsequent chapter, a very general regression method is derived from the likelihood-based methodology. This regression method does not impose restrictive assumptions about the form of the imprecise observations, about the underlying probability distribution, and about the shape of the relationship between the variables. Moreover, an exact algorithm is developed for the special case of simple linear regression with interval data and selected statistical properties of this regression method are studied. The proposed regression method turns out to be robust in terms of a high breakdown point and to provide very reliable insights in the sense of a set-valued result with a high coverage probability. In addition, an alternative approach proposed in the literature based on Support Vector Regression is studied in detail and generalized by embedding it into the framework of the formerly introduced likelihood-based methodology. In the end, the discussed regression methods are applied to two practical questions.

### Abstract

Methoden der statistischen Datenanalyse setzen in der Regel voraus, dass die vorhandenen Daten präzise und korrekte Beobachtungen der untersuchten Größen sind. Häufig können aber bei praktischen Studien die interessierenden Werte nur unvollständig oder unscharf beobachtet werden. Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Fragestellung, wie Regressionsanalysen bei unscharfen Daten sinnvoll durchgeführt werden können. Zunächst werden verschiedene Ansätze zum Umgang mit unscharf beobachteten Variablen diskutiert, bevor eine neue Likelihood-basierte Methodologie für Regression mit unscharfen Daten eingeführt wird. Als Ergebnis der Regressionsanalyse wird bei diesem Ansatz keine einzelne Regressionsfunktion angestrebt, sondern die gesamte Menge aller anhand der Daten plausiblen Regressionsfunktionen betrachtet, welche als Konfidenzbereich für den untersuchten Zusammenhang interpretiert werden kann. Im darauffolgenden Kapitel wird im Rahmen dieser Methodologie eine Regressionsmethode entwickelt, die sehr allgemein bezüglich der Form der unscharfen Beobachtungen, der möglichen Verteilungen der Zufallsgrößen sowie der Form des funktionalen Zusammenhangs zwischen den untersuchten Variablen ist. Zudem werden ein exakter Algorithmus für den Spezialfall der linearen Einfachregression mit Intervalldaten entwickelt und einige statistische Eigenschaften der Methode näher untersucht. Dabei stellt sich heraus, dass die entwickelte Regressionsmethode sowohl robust im Sinne eines hohen Bruchpunktes ist, als auch sehr verlässliche Erkenntnisse hervorbringt, was sich in einer hohen Überdeckungswahrscheinlichkeit der Ergebnismenge äußert. Darüber hinaus wird in einem weiteren Kapitel ein in der Literatur vorgeschlagener Alternativansatz ausführlich diskutiert, der auf Support Vector Regression aufbaut. Dieser wird durch Einbettung in den methodologischen Rahmen des vorher eingeführten Likelihood-basierten Ansatzes weiter verallgemeinert. Abschließend werden die behandelten Regressionsmethoden auf zwei praktische Probleme angewandt.