Connecting diagrams with tensor networks

Ritter, Marc K. (2025): Connecting diagrams with tensor networks: novel algorithms for many-body quantum systems. Dissertation, LMU München: Fakultät für Physik

Abstract

In the field of many-body quantum physics, the term curse of dimensionality refers to the exponential growth of the Hilbert space with system size. Numerical methods for simulating quantum many-body systems can be divided into two classes according to how they approach this problem: some methods (A) rely on a low-dimensional ansatz chosen for physical reasons, such as in tensor network methods, while others (B) avoid explicit representation of quantum mechanical states entirely, thus sidestepping the problem. This thesis is about methods in both classes. The parquet equations and the functional renormalization group, introduced in the first part, both belong to class (B). Instead of computing wave functions, they rely on exact relations between correlators, which makes them less sensitive to the dimensionality of the system and agnostic of the scaling of the entanglement entropy compared to many methods of class (A). This enables us to apply the multiloop pseudofermion functional renormalization group scheme to the J_1–J_2–J_3 Heisenberg model on a cubic lattice. Implementing the multiloop equations requires numerous technical improvements over the previous state of the art, which are shown as well. The second part of the thesis is based on tensor network methods. They belong to class (A), as they choose an ansatz, such as a matrix product state, for the wave function. This ansatz can be generalized to represent general functions of many variables, and is then called a tensor train. To construct a tensor train, we use the tensor cross interpolation algorithm, which samples the target function in an active machine learning scheme. The number of samples scales with the size of the compressed representation, which may be much smaller than the full tensor. Thus, the exponential cost of generating all components of the full tensor is avoided. The tensor train format is particularly useful when combined with the quantics representation, where a function is parameterized in a binary representation of its variables. Provided a function is compressible, the corresponding tensor train can then be constructed and operated on at a logarithmic cost in the number of discretization points. Operations on functions in tensor train representation, such as multiplication, Fourier transform, and convolution, can be evaluated using known tensor network algorithms that were originally formulated for many-body quantum physics. Thus, quantics tensor trains offer enough versatility to perform entire many-body physics algorithms within this format. The third part of this thesis presents a self-consistent parquet solver implemented in this way, thus combining approaches of class (A) and (B). Benchmarks on the Hubbard atom and single-impurity Anderson models show that the quantics tensor trains converge as quickly as a solver based on dense grids, with much smaller memory consumption. This puts simulation of more complex models including multiple orbitals and momentum dependence with the parquet equations, which had hitherto been unfeasible, within reach.

Abstract

In der Vielteilchenquantenmechanik bezeichnet der Begriff des Fluchs der Dimensionalität das exponentielle Wachstum des Hilbertraums mit der Systemgröße. Numerische Methoden, die Quantenvielteilchensysteme simulieren, können anhand ihres Umgangs mit diesem Problem zwei Klassen zugeteilt werden: (A) Manche Methoden verwenden einen niedrigdimensionalen Ansatz, der aufgrund physikalischer Überlegungen gewählt wird. Ein Beispiel dafür sind Tensornetzwerkmethoden. (B) Andere Methoden umgehen dieses Problem, indem sie es vermeiden, quantenmechanische Zustände explizit darzustellen. Diese Arbeit beschäftigt sich mit Methoden beider Art. Die Parquet-Gleichungen und die Funktionalrenormierungsgruppe, die im ersten Teil dieser Arbeit eingeführt werden, sind der Klasse (B) zuzuordnen. Statt expliziter Behandlung der Wellenfunktionen verwenden diese Methoden exakte Zusammenhänge zwischen Korrelatoren, wodurch sie im Vergleich zur Klasse (A) weniger empfindlich gegenüber der Dimensionalität des Systems und unbeeinflusst vom Wachstum der Verschränkung mit Systemgröße sind. Dadurch ist es möglich, die Methode der mehrschleifigen Pseudofermionen-Funktionalrenormierungsgruppe auf das J_1-J_2-J_3-Heisenbergmodell auf einem kubischen Gitter anzuwenden. Die Implementierung der Mehrschleifen-Gleichungen erfordert einige Verbesserungen des vorherigen Stands der Technik, die ebenfalls im ersten Teil vorgestellt werden. Der zweite Teil der Arbeit befasst sich mit Tensornetzwerkmethoden. Diese gehören Klasse (A) an, da sie einen Ansatz für die Wellenfunktion wählen, etwa einen Matrixproduktzustand. Dieser Ansatz lässt sich auf beliebige Funktionen vieler Variablen verallgemeinern, und wird dann Tensorzug genannt. Tensorzüge erzeugen wir mittels der Tensor Cross Interpolation, eines Algorithmus des aktiven maschinellen Lernens, der die Zielfunktion nur stichprobenartig auswertet. Die Anzahl der benötigten Funktionsauswertungen skaliert hier mit der Größe der komprimierten Darstellung, die viel kleiner sein kann als die unkomprimierte Darstellung auf einem dichten Gitter. So wird die exponentiell teure Auswertung der Funktion auf allen Gitterpunkten vermieden. Besonders nützlich ist die Verbindung der Tensorzugdarstellung mit der Quantics-Darstellung, in der die Funktion durch die binären Ziffern der Funktionsargumente parametrisiert wird. Falls die Funktion kompressibel ist, skaliert der Rechenaufwand für die Erzeugung und Verarbeitung ihrer komprimierten Darstellung logarithmisch mit der Größe des Gitters. Operationen mit Funktionen in Tensorzugdarstellung, beispielsweise Multiplikation, Fourier-Transformation oder Faltung, können mit etablierten Tensornetzwerkmethoden aus der Vielteilchenquantenmechanik ausgewertet werden. Somit ist es möglich, ganze Simulationsalgorithmen aus der Vielteilchenquantenmechanik in der Quantics-Tensorzugdarstellung durchzuführen. Der dritte Teil dieser Arbeit stellt eine so implementierte Selbstkonsistenziteration zum Lösen der Parquetgleichungen vor, und verbindet damit die Ansätze der Klassen (A) und (B). Anwendung auf das Hubbard-Atom und das Anderson-Störstellenmodell zeigen, dass dieser Algorithmus so schnell konvergiert wie eine Implementierung mit dichten Gittern, dabei aber sehr viel weniger Arbeitsspeicher benötigt. Dieses Ergebnis zeigt auf, wie komplexere Modelle mit mehreren Orbitalen und Impulsabhängigkeiten mittels der Parquetgleichungen simuliert werden können, was bisher unerreicht ist.

• Dokumententyp: Dissertationen (Dissertation, LMU München)
• Keywords: many-body quantum physics, tensor network methods, matrix product states, quantum magnetism, numerical approximation
• Themengebiete: 500 Naturwissenschaften und Mathematik ; 500 Naturwissenschaften und Mathematik > 530 Physik
• Fakultäten: Fakultät für Physik
• Sprache der Hochschulschrift: Englisch
• Datum der mündlichen Prüfung: 22. Juli 2025
• 1. Bericht­erstatter:in: Delft, Jan von