On the analytical and combinatorial structure of cosmological observables

Vicente Vazão, Francisco (2025): On the analytical and combinatorial structure of cosmological observables. Dissertation, LMU München: Fakultät für Physik

Abstract

The cosmological wavefunction is one of the central objects when one is considering the formulation and computation of cosmological observables in inflation. In recent years, the wavefunction has gained further interest when it was found that its diagrammatic expansion, at each order in perturbation theory, can be understood combinatorially in terms of geometric objects, cosmological polytopes. To each Feynman diagram in the wavefunction there is one correspondent polytope whose volume form is the integrand of the associated Feynman integral (cosmological integrals). In this thesis, we explore the analytic properties of these integrals by developing a framework to compute their divergences. This framework is heavily dependent on mathematical objects, Newton polytopes, which capture the asymptotic structure of the integrand; as well as, the understanding of the geometry of the loop measure for a general cosmological integral. This allows us to understand the divergent structure of any loop cosmological integral. As well as computing their leading and sub-leading divergences in terms of a series expansion in an analytic regulator. This, in turn, permitted the development of a diagrammatic scheme that constructs infrared safe computables. Furthermore, we were able to explore computational methods for the one loop wavefunction, having computed the one loop two-site wavefunction and showed that the function space for the one-loop three-site wavefunction consists of Elliptic iterated integrals. Finally, we discuss the relevance of these tools to tackle a long standing issue in inflationary cosmology, the existence of infrared divergences for light scalar fields in expanding backgrounds. As well as possible phenomenological applications. Afterwards, we turn to the combinatorial structure of the wavefunction. We start by providing an alternative combinatorial picture for each graph in the wavefunction, the graph associahedron. This new combinatorial picture has the advantage of being able to easily combine every single graph associahedron to build a new polytope, the Cosmohedron. This encodes all the contributions to the wavefunction. We describe how to obtain the wavefunction from of the cosmohedron. And we further show the generalisation of the Cosmohedron for the loop wavefunction. Additionally, we use the same ideas to construct the polytope for the correlator. Finally, we discuss how the cosmohedron may provide a path towards a stringy formulation of cosmological correlators.

Abstract

Die kosmologische Wellenfunktion ist eines der zentralen Objekte, wenn es um die Formulierung und Berechnung kosmologischer Observablen in der Inflation geht. In den letzten Jahren hat die Wellenfunktion weiter an Interesse gewonnen, als man herausfand, dass ihre diagrammatische Ausdehnung bei jeder Ordnung in der Störungstheorie kombinatorisch in Form von geometrischen Objekten, den kosmologischen Polytopen, verstanden werden kann. Zu jedem Feynman-Diagramm in der Wellenfunktion gibt es ein entsprechendes Polytop, dessen Volumenform der Integrand des zugehörigen Feynman-Integrals ist (kosmologische Integrale). In dieser Arbeit erforschen wir die analytischen Eigenschaften dieser Integrale, indem wir einen Rahmen entwickeln, um ihre Divergenzen zu berechnen. Dieser Rahmen ist stark abhängig von mathematischen Objekten, Newton-Polytopen, die die asymptotische Struktur des Integranden erfassen, sowie vom Verständnis der Geometrie des Schleifenmaßes für ein allgemeines kosmologisches Integral. Dies ermöglicht es uns, die divergente Struktur jedes kosmologischen Schleifenintegrals zu verstehen. Außerdem können wir ihre führenden und untergeordneten Divergenzen in Form einer Reihenentwicklung in einem analytischen Regulator berechnen. Dies wiederum ermöglichte die Entwicklung eines diagrammatischen Schemas, das infrarotsichere berechenbare Größen konstruiert. Darüber hinaus waren wir in der Lage, Berechnungsmethoden für die Ein-Schleifen-Wellenfunktion zu erforschen, indem wir die Ein-Schleifen-Zwei-Seiten-Wellenfunktion berechneten und zeigten, dass der Funktionsraum für die Ein-Schleifen-Drei-Seiten-Wellenfunktion aus elliptischen iterierten Integralen besteht. Schließlich diskutieren wir die Relevanz dieser Werkzeuge, um ein seit langem bestehendes Problem in der inflationären Kosmologie zu lösen: die Existenz von Infrarot-Divergenzen für leichte Skalarfelder in expandierenden Hintergründen. Außerdem diskutieren wir mögliche phänomenologische Anwendungen. Danach wenden wir uns der kombinatorischen Struktur der Wellenfunktion zu. Wir beginnen mit einem alternativen kombinatorischen Bild für jeden Graphen in der Wellenfunktion, dem Graphen-Assoziahedron. Dieses neue kombinatorische Bild hat den Vorteil, dass jedes einzelne Graphenassoziaeder leicht kombiniert werden kann, um ein neues Polytop, das Kosmoeder, zu bilden. Dieses kodiert alle Beiträge zur Wellenfunktion. Wir beschreiben, wie man die Wellenfunktion aus dem Kosmoeder erhält. Außerdem zeigen wir die Verallgemeinerung des Kosmoeders für die Schleifenwellenfunktion. Außerdem verwenden wir die gleichen Ideen, um das Polytop für den Korrelator zu konstruieren. Schließlich diskutieren wir, wie das Kosmoeder einen Weg zu einer stringy Formulierung kosmologischer Korrelatoren bieten kann.

• Dokumententyp: Dissertationen (Dissertation, LMU München)
• Keywords: Cosmology, Quantum field theory, Geometry, Polytopes, Inflation
• Themengebiete: 500 Naturwissenschaften und Mathematik ; 500 Naturwissenschaften und Mathematik > 530 Physik
• Fakultäten: Fakultät für Physik
• Sprache der Hochschulschrift: Englisch
• Datum der mündlichen Prüfung: 23. Juni 2025
• 1. Bericht­erstatter:in: Henn, Johannes