On the ground state energy of large Coulomb systems

Emmert, Lukas (2025): On the ground state energy of large Coulomb systems. Dissertation, LMU München: Fakultät für Mathematik, Informatik und Statistik

Abstract

This thesis is concerned with two different Coulomb systems in the many-particle limit. First of all, the liquid drop model for nuclei interacting with a neutralizing homogeneous background of electrons is considered. The regime that is of interest is when the fraction between the electron and the nucleon charge density is small. In three dimensions, it is shown that in this dilute limit the thermodynamic ground state energy is given to leading order by that of an isolated nucleus. In two dimensions, it is proven how the leading order coefficient of the thermodynamic ground state energy is in the dilute limit and error estimates are shown that reproduce the second order of a conjectured asymptotics. Furthermore, a result is derived on the uniform distribution of energy in any dimension which is based on a method Armstrong and Serfaty used to prove uniform distribution of energy for the jellium model. The second Coulomb system that is considered is the "neutral'' case of the many-polaron system in the Pekar-Tomasevich approximation. In 2015, Benguria, Frank and Lieb showed that in this case the ground state energy goes as -N7/5 for large N. They proved an upper bound for the coefficient and conjectured it to be the correct one. Here, it is established that this is indeed true by proving the corresponding lower bound. To do so, a one-component charged Bose gas with Coulomb interaction and a background with variable charge distribution is studied. Adapting methods of Lieb and Solovej one can justify Bogolubov theory for this model.

Abstract

In dieser Doktorarbeit werden zwei verschiedene Coulomb-Systeme im Vielteilchen-Limes betrachtet. Zuerst wird das Tröpfchenmodell für die Wechselwirkung von Nukleonen mit einem Hintergrund von Elektronen untersucht. Dabei wird der Grenzwert betrachtet bei dem das Verhältnis der Elektronen- zur Neukleonenladungsdichte klein ist. In drei Dimensionen wird gezeigt, dass der thermodynamische Limes der Grundzustandsenergie zur führenden Ordnung der eines einzelnen Atomkernes entspricht wenn die Ladungsdichte klein ist. In zwei Dimensionen wird der Koeffizient der führenden Ordnung hergeleitet und es werden Fehlerschranken bewiesen, die die Größenordnung einer vermuteten Asymptotik der zweiten Ordnung haben. Außerdem wird ein Resultat bewiesen zur gleichmäßigen Verteilung der Energie im Raum mithilfe einer Methode, die Armstrong und Serfaty verwendeten um die gleichmäßige Verteilung der Energie im Jellium Modell zu beweisen. Das zweite Coulomb-System behandelt viele Polaronen in der Pekar-Tomasevich Näherung. Benguria, Frank und Lieb bewiesen 2015, dass die entsprechende Grundzustandsenergie propotional ist zu -N7/5 für große N. Sie bewiesen eine obere Schranke für den Koeffizienten und formulierten die Vermutung, dass diese scharf ist. In dieser Doktorarbeit wird bewiesen, dass die Vermutung korrekt ist indem die entsprechende untere Schranke hergleitet wird. Dabei wird ein geladenes Bose-Gas mit Coulomb-Wechselwirkung und einem Hintergrund entgegengesetzter Ladung betrachtet. Mithilfe von Methoden von Lieb und Solovej kann Bogolubov Theorie verwendet werden.

• Dokumententyp: Dissertationen (Dissertation, LMU München)
• Keywords: Mathematical Physics, Analysis, Liquid Drop Model, Polarons, Bogolubov Theory
• Themengebiete: 500 Naturwissenschaften und Mathematik ; 500 Naturwissenschaften und Mathematik > 510 Mathematik
• Fakultäten: Fakultät für Mathematik, Informatik und Statistik
• Sprache der Hochschulschrift: Englisch
• Datum der mündlichen Prüfung: 26. März 2025
• 1. Bericht­erstatter:in: Frank, Rupert