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Chow motives of projective, homogeneous E7-varieties
Chow motives of projective, homogeneous E7-varieties
This thesis compiles four main results concerning adjoint semisimple linear algebraic groups G of exceptional type E7 over an abstract field k with char(k) = 0. The first one is the decomposition of most of the projective, homogeneous E7-varieties X, which are twisted forms of G0/P for G0 denoting the split adjoint E7, into Chow motives with F2 coefficients. The motivic decompositions depend on several invariants of the given group G, such as the Tits index, the motivic J-invariant and the Tits algebras of G. We also use the coaction map on the Chow ring of X, which was recently defined by Petrov and Semenov, for this, giving more insight into its behavior on non rational algebraic cycles. The second main result is the provision of a table containing the possible combinations of the mentioned invariants. We also mostly settle the question how these parameters change under extension to function fields k(X)/k, for X being a twisted form of G0/P or the Severi-Brauer variety of the Tits algebra of G. This extends the well known index reduction formulas proven by Merkurjev, Panin and Wadsworth. As a third main result we examine groups of type E7, which are obtained from a construction by Tits and use an Albert algebra and a Quaternion algebra as input. We then relate the invariants of the input to the invariants of the output and calculate some of the motivic decompositions of the projective, homogeneous G-varieties of the output. The last main result is the unexpected discovery of a Galois cohomological degree five invariant for any semisimple linear algebraic group of exceptional type E7, which splits over the function field of the Severi-Brauer variety of its Tits algebra. It is trivial if and only if the twisted form of the respective variety G0/P1 of maximal parabolic subgroups of type 1 has a zero cycle of odd degree. Such anisotropic cases are obtained by the construction of Tits, for example. The construction of the invariant involves some of the afore mentioned results, along the same techniques used to prove them., Diese Dissertation setzt sich aus vier Hauptergebnissen über adjungierte halbeinfache algebraische Gruppen G vom Ausnahmetyp E7 über einem abstrakten Körper k mit char (k) = 0 zusammen. Dabei stellt das erste Ergebnis die Zerlegung der meisten projektiven, homogenen E7-Varietäten in Chow Motive mit F2-Koeffizienten dar. Die betrachteten Varietäten sind getwistete Formen von G0/P, wobei G0 die zerfallene adjungierte Gruppe von Typ E7 sei. Ihre motivischen Zerlegungen hängen von verschiedenen Invarianten der entsprechenden Gruppe, wie dem Tits Index, der motivischen J-Invariante und den Tits Algebren von G ab. Wir verwenden dafür auch die Kowirkung auf dem Chow ring von X, welche kürzlich von Petrov und Semenov eingeführt wurde. Einige der erzielten Ergebnisse helfen ihr Verhalten auf nicht rationalen algebraischen Zykeln besser zu verstehen. Das zweite Hauptresultat ist eine Übersicht über die möglichen Kombinationen der drei genannten Invarianten. Wir beantworten auch die Frage, wie sich diese Invarianten über Funktionenkörpern k(X) ändern fast vollständig. Dabei ist X entweder eine getwistete Form von G0/P oder aber die Severi-Brauer Varietät einer Tits Algebra von G. Unser Ergebnis erweitert die wohlbekannten Indexreduktionsformeln von Merkurjev, Panin und Wadsworth. Für unser drittes Hauptresultat untersuchen wir Gruppen vom Typ E7, welche aus einer Konstruktion von Tits stammen und die als Input eine Albert Algebra und eine Quaternion Algebra verwendet. Wir stellen einen Zusammenhang zwischen den Invarianten des Inputs und des Outputs her und berechnen einige der motivischen Zerlegungen der projektiven, homogenen G-Varietäten des Outputs. Das letzte Hauptresultat ist die Entdeckung einer Galois-kohomologischen Grad fünf Invariante, für halbeinfache lineare algebraische Gruppen vom Typ E7, welche über dem Funktionenkörper der Severi-Brauer Varietät ihrer Tits Algebra zerfallen. Diese Invariante ist genau dann nicht trivial, wenn die getwistete Form der Varietät G0/P1 der maximalen parabolischen Untergruppen vom Typ 1 kein Nullzykel vom ungeraden Grad hat. Solche anisotropen Gruppen können zum Beispiel aus der Konstruktion von Tits entstehen. Die Konstruktion der neuen Invariante benutzt einige der zuvor erwähnten Resultate und auch deren Beweistechniken.
algebraic geometry, motives, algebraic groups, Lie groups, E7, Galois cohomology
Henke, Alexander
2023
English
Universitätsbibliothek der Ludwig-Maximilians-Universität München
Henke, Alexander (2023): Chow motives of projective, homogeneous E7-varieties. Dissertation, LMU München: Faculty of Mathematics, Computer Science and Statistics
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Abstract

This thesis compiles four main results concerning adjoint semisimple linear algebraic groups G of exceptional type E7 over an abstract field k with char(k) = 0. The first one is the decomposition of most of the projective, homogeneous E7-varieties X, which are twisted forms of G0/P for G0 denoting the split adjoint E7, into Chow motives with F2 coefficients. The motivic decompositions depend on several invariants of the given group G, such as the Tits index, the motivic J-invariant and the Tits algebras of G. We also use the coaction map on the Chow ring of X, which was recently defined by Petrov and Semenov, for this, giving more insight into its behavior on non rational algebraic cycles. The second main result is the provision of a table containing the possible combinations of the mentioned invariants. We also mostly settle the question how these parameters change under extension to function fields k(X)/k, for X being a twisted form of G0/P or the Severi-Brauer variety of the Tits algebra of G. This extends the well known index reduction formulas proven by Merkurjev, Panin and Wadsworth. As a third main result we examine groups of type E7, which are obtained from a construction by Tits and use an Albert algebra and a Quaternion algebra as input. We then relate the invariants of the input to the invariants of the output and calculate some of the motivic decompositions of the projective, homogeneous G-varieties of the output. The last main result is the unexpected discovery of a Galois cohomological degree five invariant for any semisimple linear algebraic group of exceptional type E7, which splits over the function field of the Severi-Brauer variety of its Tits algebra. It is trivial if and only if the twisted form of the respective variety G0/P1 of maximal parabolic subgroups of type 1 has a zero cycle of odd degree. Such anisotropic cases are obtained by the construction of Tits, for example. The construction of the invariant involves some of the afore mentioned results, along the same techniques used to prove them.

Abstract

Diese Dissertation setzt sich aus vier Hauptergebnissen über adjungierte halbeinfache algebraische Gruppen G vom Ausnahmetyp E7 über einem abstrakten Körper k mit char (k) = 0 zusammen. Dabei stellt das erste Ergebnis die Zerlegung der meisten projektiven, homogenen E7-Varietäten in Chow Motive mit F2-Koeffizienten dar. Die betrachteten Varietäten sind getwistete Formen von G0/P, wobei G0 die zerfallene adjungierte Gruppe von Typ E7 sei. Ihre motivischen Zerlegungen hängen von verschiedenen Invarianten der entsprechenden Gruppe, wie dem Tits Index, der motivischen J-Invariante und den Tits Algebren von G ab. Wir verwenden dafür auch die Kowirkung auf dem Chow ring von X, welche kürzlich von Petrov und Semenov eingeführt wurde. Einige der erzielten Ergebnisse helfen ihr Verhalten auf nicht rationalen algebraischen Zykeln besser zu verstehen. Das zweite Hauptresultat ist eine Übersicht über die möglichen Kombinationen der drei genannten Invarianten. Wir beantworten auch die Frage, wie sich diese Invarianten über Funktionenkörpern k(X) ändern fast vollständig. Dabei ist X entweder eine getwistete Form von G0/P oder aber die Severi-Brauer Varietät einer Tits Algebra von G. Unser Ergebnis erweitert die wohlbekannten Indexreduktionsformeln von Merkurjev, Panin und Wadsworth. Für unser drittes Hauptresultat untersuchen wir Gruppen vom Typ E7, welche aus einer Konstruktion von Tits stammen und die als Input eine Albert Algebra und eine Quaternion Algebra verwendet. Wir stellen einen Zusammenhang zwischen den Invarianten des Inputs und des Outputs her und berechnen einige der motivischen Zerlegungen der projektiven, homogenen G-Varietäten des Outputs. Das letzte Hauptresultat ist die Entdeckung einer Galois-kohomologischen Grad fünf Invariante, für halbeinfache lineare algebraische Gruppen vom Typ E7, welche über dem Funktionenkörper der Severi-Brauer Varietät ihrer Tits Algebra zerfallen. Diese Invariante ist genau dann nicht trivial, wenn die getwistete Form der Varietät G0/P1 der maximalen parabolischen Untergruppen vom Typ 1 kein Nullzykel vom ungeraden Grad hat. Solche anisotropen Gruppen können zum Beispiel aus der Konstruktion von Tits entstehen. Die Konstruktion der neuen Invariante benutzt einige der zuvor erwähnten Resultate und auch deren Beweistechniken.