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Algorithms and techniques for finding canonical differential equations of Feynman integrals
Algorithms and techniques for finding canonical differential equations of Feynman integrals
Modern day particle physics relies on perturbative Quantum Field Theory. Beyond the leading order, the computation of the appearing Feynman integrals is one of the most important and often also most complicated steps necessary to extract predictions from the theory. A prominent method for the latter is to derive a set of ordinary differential equations satisfied by the Feynman integrals and then subsequently transforming them into canonical form where the solution in terms of known functions can be obtained in a straightforward manner. In this thesis, we consider the crucial task of finding the appropriate basis change that transforms the set of differential equations into canonical form. To this end, we first discuss some of the basic properties of Feynman integrals and the special functions appearing in the solutions. We then show how the transcendental weight of these functions constitutes an essential guiding principle in the search for members of the canonical basis. In particular, we review the algorithmic determination of so-called dlog integrals and their leading singularities. Further, we provide a summary of heuristic methods that, in many cases, prove to be sufficient for finding a canonical basis with little effort. Through a simple example, we then also review how so-called balance transformations can be used to reach the properties of the canonical form step by step. As the main result of the thesis, we present a new algorithm for attaining the canonical form starting from a single canonical integral. In addition, this algorithm makes it possible to test the transcendental weight properties of individual integrals and can therefore also be seen as complementary to the other methods described in this thesis. Several univariate examples, as well as a multivariate example are used to demonstrate the power and flexibility of the algorithm and our public implementation. Finally, we use the methods discussed in the thesis in three state-of-the-art applications and highlight how our algorithm can find the canonical form in cases where existing methods fail to provide an answer. This includes differential equations with more than 500 basis integrals and a matrix involving elliptic functions., Die moderne Teilchenphysik stützt sich auf die störungstheoretische Quantenfeldtheorie. Jenseits der führenden Ordnung ist die Berechnung der auftretenden Feynman-Integrale einer der wichtigsten und oft auch kompliziertesten Schritte, die notwendig sind, um Vorhersagen aus der Theorie zu gewinnen. Eine häufig verwendete Methode zur Berechnung der Feynman-Integrale besteht darin, einen Satz gewöhnlicher Differentialgleichungen abzuleiten, die von den Feynman-Integralen erfüllt werden, und diese anschließend in eine kanonische Form zu transformieren, bei der die Lösung in Form bekannter Funktionen auf einfache Weise erhalten werden kann. Diese Arbeit befasst sich mit der entscheidenden Aufgabe, die geeignete Basisänderung zu finden, die den Satz der Differentialgleichungen in die kanonische Form bringt. Zu diesem Zweck werden zunächst einige der grundlegenden Eigenschaften von Feyn\-man-Integralen und der speziellen Funktionen, die in den Lösungen vorkommen, erläutert. Anschließend erörtern wir, wie das transzendentale Gewicht dieser Funktionen ein wesentliches Leitprinzip bei der Suche nach Teilen der kanonischen Basis darstellt. Insbesondere gehen wir auf die algorithmische Bestimmung der sogenannten dlog-Integrale und ihrer ``leading singularities'' ein. Außerdem geben wir einen Überblick über heuristische Methoden, die sich in vielen Fällen als ausreichend erweisen, um mit geringem Aufwand eine kanonische Basis zu finden. Anhand eines einfachen Beispiels wird anschließend gezeigt, wie man mit Hilfe von sogenannten ``balance''-Transformationen Schritt für Schritt zu den Eigenschaften der kanonischen Form gelangt. Als Hauptergebnis der Arbeit stellen wir einen neuen Algorithmus vor, mit dem die kanonische Form ausgehend von einem einzigen kanonischen Integral erreicht werden kann. Dieser Algorithmus ermöglicht es ebenfalls, die transzendentalen Gewichtseigenschaften einzelner Integrale zu testen und kann daher auch als Ergänzung zu den anderen in dieser Arbeit beschriebenen Methoden betrachtet werden. Anhand mehrerer univariater Beispiele, sowie eines multivariaten Beispiels, wird die Leistungsfähigkeit und Flexibilität des Algorithmus und der öffentlich zugänglichen Implementierung demonstriert. Schließlich verwenden wir die in dieser Arbeit diskutierten Methoden in drei hochmodernen Anwendungen und zeigen, wie unser Algorithmus die kanonische Form in Fällen finden kann, in denen bestehende Methoden nicht anwendbar sind. Dazu gehören unter anderem Differentialgleichungen mit mehr als 500 Basisintegralen und eine Matrix mit elliptischen Funktionen.
Feynman integrals, Differential Equations, High Energy Physics
Dlapa, Christoph
2022
English
Universitätsbibliothek der Ludwig-Maximilians-Universität München
Dlapa, Christoph (2022): Algorithms and techniques for finding canonical differential equations of Feynman integrals. Dissertation, LMU München: Faculty of Physics
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Abstract

Modern day particle physics relies on perturbative Quantum Field Theory. Beyond the leading order, the computation of the appearing Feynman integrals is one of the most important and often also most complicated steps necessary to extract predictions from the theory. A prominent method for the latter is to derive a set of ordinary differential equations satisfied by the Feynman integrals and then subsequently transforming them into canonical form where the solution in terms of known functions can be obtained in a straightforward manner. In this thesis, we consider the crucial task of finding the appropriate basis change that transforms the set of differential equations into canonical form. To this end, we first discuss some of the basic properties of Feynman integrals and the special functions appearing in the solutions. We then show how the transcendental weight of these functions constitutes an essential guiding principle in the search for members of the canonical basis. In particular, we review the algorithmic determination of so-called dlog integrals and their leading singularities. Further, we provide a summary of heuristic methods that, in many cases, prove to be sufficient for finding a canonical basis with little effort. Through a simple example, we then also review how so-called balance transformations can be used to reach the properties of the canonical form step by step. As the main result of the thesis, we present a new algorithm for attaining the canonical form starting from a single canonical integral. In addition, this algorithm makes it possible to test the transcendental weight properties of individual integrals and can therefore also be seen as complementary to the other methods described in this thesis. Several univariate examples, as well as a multivariate example are used to demonstrate the power and flexibility of the algorithm and our public implementation. Finally, we use the methods discussed in the thesis in three state-of-the-art applications and highlight how our algorithm can find the canonical form in cases where existing methods fail to provide an answer. This includes differential equations with more than 500 basis integrals and a matrix involving elliptic functions.

Abstract

Die moderne Teilchenphysik stützt sich auf die störungstheoretische Quantenfeldtheorie. Jenseits der führenden Ordnung ist die Berechnung der auftretenden Feynman-Integrale einer der wichtigsten und oft auch kompliziertesten Schritte, die notwendig sind, um Vorhersagen aus der Theorie zu gewinnen. Eine häufig verwendete Methode zur Berechnung der Feynman-Integrale besteht darin, einen Satz gewöhnlicher Differentialgleichungen abzuleiten, die von den Feynman-Integralen erfüllt werden, und diese anschließend in eine kanonische Form zu transformieren, bei der die Lösung in Form bekannter Funktionen auf einfache Weise erhalten werden kann. Diese Arbeit befasst sich mit der entscheidenden Aufgabe, die geeignete Basisänderung zu finden, die den Satz der Differentialgleichungen in die kanonische Form bringt. Zu diesem Zweck werden zunächst einige der grundlegenden Eigenschaften von Feyn\-man-Integralen und der speziellen Funktionen, die in den Lösungen vorkommen, erläutert. Anschließend erörtern wir, wie das transzendentale Gewicht dieser Funktionen ein wesentliches Leitprinzip bei der Suche nach Teilen der kanonischen Basis darstellt. Insbesondere gehen wir auf die algorithmische Bestimmung der sogenannten dlog-Integrale und ihrer ``leading singularities'' ein. Außerdem geben wir einen Überblick über heuristische Methoden, die sich in vielen Fällen als ausreichend erweisen, um mit geringem Aufwand eine kanonische Basis zu finden. Anhand eines einfachen Beispiels wird anschließend gezeigt, wie man mit Hilfe von sogenannten ``balance''-Transformationen Schritt für Schritt zu den Eigenschaften der kanonischen Form gelangt. Als Hauptergebnis der Arbeit stellen wir einen neuen Algorithmus vor, mit dem die kanonische Form ausgehend von einem einzigen kanonischen Integral erreicht werden kann. Dieser Algorithmus ermöglicht es ebenfalls, die transzendentalen Gewichtseigenschaften einzelner Integrale zu testen und kann daher auch als Ergänzung zu den anderen in dieser Arbeit beschriebenen Methoden betrachtet werden. Anhand mehrerer univariater Beispiele, sowie eines multivariaten Beispiels, wird die Leistungsfähigkeit und Flexibilität des Algorithmus und der öffentlich zugänglichen Implementierung demonstriert. Schließlich verwenden wir die in dieser Arbeit diskutierten Methoden in drei hochmodernen Anwendungen und zeigen, wie unser Algorithmus die kanonische Form in Fällen finden kann, in denen bestehende Methoden nicht anwendbar sind. Dazu gehören unter anderem Differentialgleichungen mit mehr als 500 Basisintegralen und eine Matrix mit elliptischen Funktionen.