Schwaferts, Patrick (2022): Improving practical relevance of Bayes factors. Dissertation, LMU München: Faculty of Mathematics, Computer Science and Statistics
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Abstract

Bayes factors are recently promoted as replacement for the heavily criticized frequentist hypothesis tests. Yet, Bayes factors are oftentimes based on the same statistical hypotheses that were employed in frequentist procedures and criticized for lacking practical relevance. To guard Bayes factors of similar shortcomings, the present dissertation attempts to elaborate on how to improve the practical relevance of Bayes factors. It appears that a formal definition of the notion of practical relevance is located within the framework of statistical decision theory. The relevance of a result naturally depends on what it is used for, and - formally speaking - such a use is a decision. Accordingly, Bayes factors were depicted and evaluated within the framework of Bayesian decision theory, in which the specification of the loss function seems to be the major obstacle to its application. Typically, information about the consequences of a decision are scarce, vague, partial, and ambiguous, prohibiting an unambiguous specification of the loss function. To deal with these specification issues, two options are discussed: First, the loss function can be simplified by employing a hypothesis-based account and, second, the required specifications can be allowed to be set-valued, i.e. imprecise, instead of precise values. In this regard, a twofold generalization of Bayes factors into the framework of decision theory and into the framework of imprecise probabilities was developed and condensed into a straightforward framework for applications. Besides, the nature of statistical hypotheses was critically evaluated, showing that - in contrast to the current conception within the literature of Bayes factors - they are merely subsets of the parameter space.

Abstract

Bayes-Faktoren werden neuerdings als Ersatz für die stark kritisierten frequentistischen Hypothesentests propagiert. Allerdings beruhen Bayes-Faktoren häufig auf denselben statistischen Hypothesen, die in den frequentistischen Verfahren verwendet und wegen mangelnder praktischer Relevanz kritisiert wurden. Um Bayes-Faktoren vor ähnlichen Unzulänglichkeiten zu bewahren, wird in der vorliegenden Dissertation versucht, herauszuarbeiten, wie die praktische Relevanz von Bayes-Faktoren verbessert werden kann. Es zeigt sich, dass eine formale Definition des Begriffs der praktischen Relevanz innerhalb der statistischen Entscheidungstheorie zu finden ist. Die Relevanz eines Ergebnisses hängt natürlich davon ab, wofür es verwendet wird, und eine solche Verwendung ist - formal gesehen - eine Entscheidung. Dementsprechend wurden die Bayes-Faktoren im Rahmen der Bayes'schen Entscheidungstheorie dargestellt und bewertet, wobei die Spezifikation der Verlustfunktion das größte Hindernis für ihre Anwendung zu sein scheint. Typischerweise sind die Informationen über Konsequenzen einer Entscheidung knapp, vage und mehrdeutig, was eine eindeutige und präzise Spezifikation der Verlustfunktion nahezu unmöglich macht. Um dieses Spezifikationsproblem zu lösen, werden zwei Möglichkeiten diskutiert: Erstens kann die Verlustfunktion durch die Verwendung eines hypothesenbasierten Ansatzes vereinfacht werden, und zweitens können die geforderten Spezifikationen mengenwertig, d.h. verallgemeinert, anstelle von präzisen Werten aufgefasst werden. In diesem Sinne wurde eine zweifache Verallgemeinerung der Bayes-Faktoren in die Entscheidungstheorie und in das Feld der verallgemeinerten Wahrscheinlichkeiten entwickelt und anschließend in einen anwenderfreundlichen statistischen Leitfaden verdichtet. Außerdem wurde das Wesen von statistischen Hypothesen kritisch bewertet, wobei gezeigt wurde, dass sie - im Gegensatz zur gängigen Auffassung in der Literatur über Bayes-Faktoren - lediglich Teilmengen des Parameterraums sind.