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The momentum amplituhedron. scattering amplitudes from geometry
The momentum amplituhedron. scattering amplitudes from geometry
Diese Dissertation befasst sich mit einigen der jüngeren theoretischen Entwicklungen auf dem Gebiet der Streuamplituden. In den letzten Jahren wurde immer mehr der traditionelle Ansatz der Extraktion von Streuamplituden aus Feynman-Diagrammen zugunsten von Techniken, die als On-Shell-Methoden bekannt sind, aufgegeben. Diese Methoden offenbaren eine interessante Beziehung zwischen Streuamplituden und einer Geometrie, die als positive Grassmannsche Geometrie bekannt ist und zu einer radikalen Neuformulierung von Streuamplituden durch so genannte positiven Geometrien geführt hat. Positive Geometrien sind Geometrien mit Rändern aller Kodimensionen und gewissen zugehörigen \emph{kanonischen Formen}, aus denen Streuamplitude extrahiert werden können. Der zentrale Akteur dieser Dissertation ist das Impulsamplituhedron, welches durch die Positive Geometrie gegeben ist und die on-shell Amplituden auf Baumniveau in der maximal supersymmetrischen Yang-Mills-Theorie kodiert, die im Raum der Spinor-Helizitätsvariablen definiert ist. Die canonical Form das Impulsamplituhedron verfügt über eine besondere Singularitätsstruktur, die die physikalischen Singularitäten der Streuamplituden in allen Helizitätssektoren auf Baumniveau kodiert, aus denen die Streuamplituden extrahiert werden können. Dies ermöglicht es, Streuamplituden in maximal supersymmetrischen Yang-Mills Theorie zu bestimmen ohne Bezug auf Felder, Lagrangedichten, Raumzeit oder Feynman-Diagramme zu nehmen. In neueren Arbeiten über das Impulsamplituhedron konnten wir sehen, das seine kanonische Form mit der kanonischen Form - die mit einer Geometrie assoziiert ist, welche die Streuamplituden für bi-adjungierte Skalare - dem kinematischen Associahedron kodiert, in Verbindung gebracht werden kann. Die Definition des Impusamplituhedron auf dem Raum der Spinor-Helizitäts-Variablen ermöglicht einen direkten Vergleich von Geometrien, mit unterschiedlich Farb-geordneten Streuamplituden im selben Raum verbunden sind. Die wird genutzt, um die Kleiss-Kuijf-Relationen -- eine Reihe von Beziehungen zwischen Streuamplituden verschiedener Farbordnungen, wiederherzustellen, die sich aus der Farbzerlegung von Streuamplituden ergeben. Die Kleiss-Kuijf-Relationen manifestieren sich als orientierte Summen von Impulsamplituhedronen verschiedener Farbordnungen ohne Vertices in ihren Rändern. Wir leiten einen homologischen Algorithmus ab, der auf diesem Prinzip basiert, um Kleiss-Kuijf-Beziehungen für Impulsamplituhedronen zu finden., This dissertation focus on some of the modern theoretical developments in the field of scattering amplitudes. Recent years have seen a departure from the traditional approach of extracting scattering amplitudes in terms of Feynman diagrams in favor of techniques known as on-shell methods. These methods reveal a striking relationship between scattering amplitudes and a geometry known as the positive Grassmannian, leading to a radical reformulation of scattering amplitudes in terms of so-called positive geometries. Positive geometries are geometries with boundaries of all codimensions and have a certain associated canonical form. In some special cases, physical observables can be extracted from the canonical forms of positive geometries. The central player in this dissertation is the \emph{momentum amplituhedron} which is the positive geometry encoding on-shell tree-level amplitudes in maximally supersymmetric Yang-Mills theory defined on the space of spinor helicity variables. The momentum amplituhedron is equipped with a canonical form with a particular singularity structure, encoding the physical singularities of scattering amplitudes in all helicity sectors at tree-level, from which scattering amplitudes can be extracted. This allows us to determine scattering amplitudes in maximally supersymmetric Yang-Mills without reference to fields, Lagrangians, space-time, or Feynman diagrams. We will in this dissertation report on the most recent results for the momentum amplituhedron obtained in collaboration with other authors. In particular, we will see that its canonical form can be related to the canonical form associated with a geometry encoding scattering amplitudes for bi-adjoint scalars -- the kinematic associahedron. Furthermore, since we can define the momentum amplituhedron on the space of spinor helicity variables, it allows for a direct comparison of geometries associated with differently color-ordered scattering amplitudes in the same space. This ability to compare momentum amplituhedra of different color orderings will be employed to rederive the Kleiss-Kuijf relations, a set of relations between scattering amplitudes of different color orderings stemming from the color decomposition of scattering amplitudes. The Kleiss-Kuijf relations will appear as oriented sums of momentum amplituhedra of different color orderings with no vertices in their boundary stratifications. We will use this fact to derive a homological algorithm based on this principle to find Kleiss-Kuijf relations for momentum amplituhedra.
Scattering Amplitudes, Amplituhedron, Momentum Amplituhedron, Geometry, Positive Grassmannian, Supersymmetric Yang-Mills Theory
Damgaard, David
2021
English
Universitätsbibliothek der Ludwig-Maximilians-Universität München
Damgaard, David (2021): The momentum amplituhedron: scattering amplitudes from geometry. Dissertation, LMU München: Faculty of Physics
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Abstract

Diese Dissertation befasst sich mit einigen der jüngeren theoretischen Entwicklungen auf dem Gebiet der Streuamplituden. In den letzten Jahren wurde immer mehr der traditionelle Ansatz der Extraktion von Streuamplituden aus Feynman-Diagrammen zugunsten von Techniken, die als On-Shell-Methoden bekannt sind, aufgegeben. Diese Methoden offenbaren eine interessante Beziehung zwischen Streuamplituden und einer Geometrie, die als positive Grassmannsche Geometrie bekannt ist und zu einer radikalen Neuformulierung von Streuamplituden durch so genannte positiven Geometrien geführt hat. Positive Geometrien sind Geometrien mit Rändern aller Kodimensionen und gewissen zugehörigen \emph{kanonischen Formen}, aus denen Streuamplitude extrahiert werden können. Der zentrale Akteur dieser Dissertation ist das Impulsamplituhedron, welches durch die Positive Geometrie gegeben ist und die on-shell Amplituden auf Baumniveau in der maximal supersymmetrischen Yang-Mills-Theorie kodiert, die im Raum der Spinor-Helizitätsvariablen definiert ist. Die canonical Form das Impulsamplituhedron verfügt über eine besondere Singularitätsstruktur, die die physikalischen Singularitäten der Streuamplituden in allen Helizitätssektoren auf Baumniveau kodiert, aus denen die Streuamplituden extrahiert werden können. Dies ermöglicht es, Streuamplituden in maximal supersymmetrischen Yang-Mills Theorie zu bestimmen ohne Bezug auf Felder, Lagrangedichten, Raumzeit oder Feynman-Diagramme zu nehmen. In neueren Arbeiten über das Impulsamplituhedron konnten wir sehen, das seine kanonische Form mit der kanonischen Form - die mit einer Geometrie assoziiert ist, welche die Streuamplituden für bi-adjungierte Skalare - dem kinematischen Associahedron kodiert, in Verbindung gebracht werden kann. Die Definition des Impusamplituhedron auf dem Raum der Spinor-Helizitäts-Variablen ermöglicht einen direkten Vergleich von Geometrien, mit unterschiedlich Farb-geordneten Streuamplituden im selben Raum verbunden sind. Die wird genutzt, um die Kleiss-Kuijf-Relationen -- eine Reihe von Beziehungen zwischen Streuamplituden verschiedener Farbordnungen, wiederherzustellen, die sich aus der Farbzerlegung von Streuamplituden ergeben. Die Kleiss-Kuijf-Relationen manifestieren sich als orientierte Summen von Impulsamplituhedronen verschiedener Farbordnungen ohne Vertices in ihren Rändern. Wir leiten einen homologischen Algorithmus ab, der auf diesem Prinzip basiert, um Kleiss-Kuijf-Beziehungen für Impulsamplituhedronen zu finden.

Abstract

This dissertation focus on some of the modern theoretical developments in the field of scattering amplitudes. Recent years have seen a departure from the traditional approach of extracting scattering amplitudes in terms of Feynman diagrams in favor of techniques known as on-shell methods. These methods reveal a striking relationship between scattering amplitudes and a geometry known as the positive Grassmannian, leading to a radical reformulation of scattering amplitudes in terms of so-called positive geometries. Positive geometries are geometries with boundaries of all codimensions and have a certain associated canonical form. In some special cases, physical observables can be extracted from the canonical forms of positive geometries. The central player in this dissertation is the \emph{momentum amplituhedron} which is the positive geometry encoding on-shell tree-level amplitudes in maximally supersymmetric Yang-Mills theory defined on the space of spinor helicity variables. The momentum amplituhedron is equipped with a canonical form with a particular singularity structure, encoding the physical singularities of scattering amplitudes in all helicity sectors at tree-level, from which scattering amplitudes can be extracted. This allows us to determine scattering amplitudes in maximally supersymmetric Yang-Mills without reference to fields, Lagrangians, space-time, or Feynman diagrams. We will in this dissertation report on the most recent results for the momentum amplituhedron obtained in collaboration with other authors. In particular, we will see that its canonical form can be related to the canonical form associated with a geometry encoding scattering amplitudes for bi-adjoint scalars -- the kinematic associahedron. Furthermore, since we can define the momentum amplituhedron on the space of spinor helicity variables, it allows for a direct comparison of geometries associated with differently color-ordered scattering amplitudes in the same space. This ability to compare momentum amplituhedra of different color orderings will be employed to rederive the Kleiss-Kuijf relations, a set of relations between scattering amplitudes of different color orderings stemming from the color decomposition of scattering amplitudes. The Kleiss-Kuijf relations will appear as oriented sums of momentum amplituhedra of different color orderings with no vertices in their boundary stratifications. We will use this fact to derive a homological algorithm based on this principle to find Kleiss-Kuijf relations for momentum amplituhedra.