Asset price bubbles and dynamic super-replication under transaction costs

Reitsam, Thomas (2021): Asset price bubbles and dynamic super-replication under transaction costs. Dissertation, LMU München: Fakultät für Mathematik, Informatik und Statistik

Abstract

Die Arbeit gliedert sich in zwei Hauptteile. Der erste Teil ist eine theoretische Untersuchung von Superhedging-Preisen und Finanzblasen in Marktmodellen mit proportionalen Transaktionskosten. Im zweiten Teil entwickeln wir eine Methode des maschinellen Lernens, um den Superhedging-Preis Prozess numerisch zu bestimmen. Für den ersten Teil betrachten wir ein Finanzmarktmodell mit einem risikolosen und einem riskikobehafteten Vermögenswert unter proportionalen Transaktionskosten auf einem endlichen Zeithorizont T. Wir liefern dynamische Versionen der Superhedging-Theoreme von [85]. Die Theoreme sind unterteilt in eine numéraire-freie Version, die gleichmäßig integrierbare Martingale als konsistente Preissysteme verwendet, und eine numéraire-basierte Version, die lokalen Martingalen als konsistente (lokale) Preissysteme entspricht. Die Superhedging-Theoreme garantieren, dass es keine Dualitätslücke zwischen dem ursprünglichen Problem des Superhedgens eines Contingent Claims unter proportionalen Transaktionskosten und dem entsprechenden dualen Problem gibt. Zu diesem Zweck erweitern wir den Begriff der zulässigen Strategien im numéraire-freien und im numéraire-basierten Sinne von Strategien auf [0,T] auf Strategien auf [t,T]. In diesem Zusammenhang zeigen wir auch die Zeitunabhängigkeit der konsistenten (lokalen) Preissysteme in der dualen Formulierung. Inbesondere ist der Superhedging-Preis Prozess wohldefiniert. Unter weiteren Regularitätsannahmen beweisen wir Rechtsstetigkeit des Superhedging-Preis Prozesses. Wir schließen den ersten Teil mit der Untersuchung von Finanzblasen in dem Marktmodell mit proportionalen Transaktionskosten ab. In Anlehnung an [52] definieren wir den Fundamentalwert F des risikobehafteten Vermögenswertes S als den Preis eines Superhedging Portfolios des Claims X_T=(0,1), das heißt der Position, die zu einem Anteil des risikobehafteten Vermögenswertes und Null Bargeld führt. Unter Verwendung der Ergebnisse aus dem ersten Teil erhalten wir eine duale Darstellung des Fundamentalwerts. Der Finanzblasen-Prozess ist definiert als die Differenz aus dem Briefkurs und dem Fundamentalwert. Wir sagen, dass es eine Finanzblase im Marktmodell gibt, wenn die Finanzblase strikt positiv mit positiver Wahrscheinlichkeit für eine [0,T]-wertige Stoppzeit ist. Die Entstehung einer Finanzblase ist in unserem Modell direkt enthalten. Schließlich untersuchen wir den Einfluss von proportionalen Transaktionskosten auf die Entstehung und Größe von Finanzblasen. Diese Studie beweist, dass die Einführung von proportionalen Transaktionskosten die Bildung von Finanzblasen teilweise verhindern kann. Im zweiten Teil untersuchen wir eine Approximation basierend auf neuronalen Netzen für den Superhedging-Preis Prozess eines Contingent Claims in einem Marktmodell in diskreter Zeit von [40]. Die Approximation des Superhedging-Preis Prozesses ist in mehrere Schritte unterteilt. Zunächst beweisen wir, dass der Quantil-Hedging-Preis für eine gegebene Erfolgswahrscheinlichkeit, siehe [38], gegen den Superhedging-Preis konvergiert. Die Berechnung des Superhedging-Preis Prozesses für t>0 reduziert sich auf die Approximation des steigenden Prozesses B aus der gleichmäßigen Doob-Zerlegung, siehe [40], welcher manchmal auch als Konsumprozess bezeichnet wird. Anschließend zeigen wir, dass der Quantil-Hedging-Preis durch Long-Short-Term Memory neuronale Netze approximiert werden kann, indem wir die Superhedging-Strategien des Quantil-Hedging-Preises durch neuronale Netze approximieren, siehe [21]. Für t>0 kann B durch ein essentielles Supremum über eine Menge von Zufallsvariablen auf der Basis von neuronalen Netzen approximiert werden. Schließlich präsentieren wir numerische Ergebnisse.

Abstract

The thesis is divided in two main parts. The first part is a theoretical study of super-replication prices and asset price bubbles in market models with proportional transaction costs. In the second part we develop a machine learning method to determine the super-replication price process numerically. For the first part, we consider a financial market model with one risk-less and one risky asset under proportional transaction cost on a finite time horizon T. We provide dynamic versions of the super-replication theorems of [85]. The theorems are divided in a numéraire-free version, which relates to uniformly integrable martingales as consistent price systems and a numéraire-based version, corresponding to local martingales as consistent (local) price systems. The super-replication theorems guarantee that there is no duality gap of the original problem of super-replicating a contingent claim under proportional transaction costs and the corresponding dual problem. For this purpose, we extend the notion of admissible strategies, in the numéraire-free and the numéraire-based sense, of [84] from strategies on [0,T], to strategies on [t,T]. In this context we show time independence of the consistent (local) price systems in the dual formulation. In particular, the super-replication price process is well-defined. Under further regularity assumptions we prove right-continuity of the super-replication price process. We conclude the first part by the study of asset price bubbles in the market model with proportional transaction costs. By following [52], we define the fundamental value F, of the risky asset S, as the price of a super-replicating portfolio of the claim X_T=(0,1), i.e., the position resulting in one share of the risky asset and zero cash. Using the results from the first part we obtain a dual representation of the fundamental value. The bubble process is defined as the difference of the ask-price and the fundamental value. We say that there is a bubble in the market model if the bubble is strictly positive with positive probability for some [0,T]-valued stopping time. The birth of a bubble is directly included in our model. Finally, we investigate the impact of proportional transaction costs on the formation and size of asset price bubbles. This study proves that the introduction of proportional transaction costs can possible prevent bubbles' formation. In the second part we study neural network-based approximations for the super-replication price process of a contingent claim in a frictionless, discrete time market model of [40]. The approximation of the super-replication price is divided in several steps. First, we prove that the quantile hedging price for a given probability of success, see [38], converges to the super-replication price for tending to 1. The calculation of the super-replication price process for t>0 is reduced to the approximation of the increasing process B obtained from the uniform Doob decomposition, see [40], which is sometimes called process of consumption. Then, by approximating the superhedging strategies of the quantile hedging price by long short-term memory neural networks, see [21], we show that the quantile hedging price can be approximated by neural networks. For t>0, B can be approximated by an essential supremums over a set of random variables based on neural networks. Finally, we present numerical results.

• Dokumententyp: Dissertationen (Dissertation, LMU München)
• Themengebiete: 500 Naturwissenschaften und Mathematik ; 500 Naturwissenschaften und Mathematik > 510 Mathematik
• Fakultäten: Fakultät für Mathematik, Informatik und Statistik
• Sprache der Hochschulschrift: Englisch
• Datum der mündlichen Prüfung: 19. November 2021
• 1. Bericht­erstatter:in: Biagini, Francesca