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Invariance feedback entropy of uncertain nonlinear control systems
Invariance feedback entropy of uncertain nonlinear control systems
In der klassischen Kontrolltheorie geht man üblicherweise davon aus, dass Sensoren und Regler durch Punkt-zu-Punkt-Verkabelung miteinander verbunden sind. In vernetzten Kontrollsystemen (VKS) sind Sensoren und Regler oft räumlich verteilt und Daten werden mittels eines digitalen Kommunikationsnetzwerks übertragen. Im Vergleich zu klassischen Kontrollsystemen bieten VKS viele Vorteile wie z.B. reduzierte Verkabelung, geringe Installations- und Instandhaltungskosten, größere Systemflexibilität und einfache Modifizierbarkeit. VKS haben Anwendungen in vielen Bereichen, z.B. in der Fahrzeugtechnik, intelligenten Gebäuden und Transportnetzwerken. Jedoch macht die Verwendung von Kommunikationsnetzwerken in Regelschleifen die Analyse und den Entwurf von VKS wesentlich komplexer. Die Verwendung digitaler Kanäle in VKS beschränkt aufgrund der endlichen Bandbreite die Datenmenge, die pro Zeiteinheit von Sensoren zu Reglern übertragen werden kann. Dies führt zu Quantisierungsfehlern, welche die Regelungsperformance ungünstig beeinflussen können. Das Problem der Regelung und Zustandsschätzung über einen digitalen Kommunikationskanal mit beschränkter Bitrate hat in den letzten zwei Jahrzehnten viel Aufmerksamkeit erhalten. Eine scharfe untere Schranke der Datenrate eines digitalen Kanals zwischen dem Kodierer (in Sensornähe) und dem Regler, die zum Erreichen eines Regelungsziels wie z.B. Stabilisierung oder Invarianz benötigt wird, kann durch einen passenden Entropiebegriff als intrinsische Größe des Systems charakterisiert werden, und hängt nicht von der Wahl des Kodierers und Reglers ab. Im ersten Teil der Arbeit beschreiben wir die Invarianz-Feedback-Entropie (IFE), die den Begriff der Invarianz-Entropie für deterministische nichtlineare Kontrollsysteme auf unsichere Systeme erweitert. Die IFE charakterisiert die Zustandsinformation, die von einem Regler benötigt wird, um eine Teilmenge Q des Zustandsraums invariant zu machen. Wir diskutieren eine Anzahl von elementaren Eigenschaften der IFE, z.B. Bedingungen für ihre Endlichkeit und die im deterministischen Spezialfall vorliegende Äquivalenz zum wohlbekannten Begriff der Invarianz-Entropie (IED). Wir analysieren unsichere lineare Kontrollsysteme und leiten eine universelle Unterschranke der IFE her. Im zweiten Teil der Arbeit betrachten wir vernetzte Kontrollsysteme und streben eine obere Schranke der IFE eines Netzwerks in Termen der IFE der Teilsysteme an. Außerdem präsentieren wir drei technische Resultate. Zuerst zeigen wir, dass die IFE einer nichtleeren Teilmenge Q des Zustandsraums eines zeitdiskreten unsicheren Kontrollsystems nach oben durch die größte IFE der Mengen in einer beliebigen endlichen Partition von Q beschränkt ist. Im zweiten Resultat betrachten wir unsichere Kontrollsysteme S1 und S2 mit identischen Zustands- und Eingangsräumen. Die mengenwertigen Übergangsfunktionen F1 und F2 der beiden Systeme sind nach Annahme so beschaffen, dass das Bild eines beliebigen Zustands-Eingangs-Paars unter F1 in dem entsprechenden Bild unter F2 enthalten ist. Für eine gegebene nichtleere Teilmenge des Zustandsraums zeigen wir, dass die IFE von S2 größer oder gleich derjenigen von S1 ist. Das dritte Resultat zeigt, dass die IFE niemals kleiner wird, wenn man die Menge der Kontrolleingänge verkleinert. Um die Effektivität der Resultate zu illustrieren, berechnen wir eine Ober- und eine Unterschranke der IFE eines Netzwerks von unsicheren, linearen, zeitdiskreten Systemen, welche den zeitlichen Verlauf der Temperaturen in 100 Räumen eines zirkulären Gebäudes beschreiben. Im letzten Teil der Arbeit präsentieren wir Algorithmen für die numerische Abschätzung der IFE. Dazu betrachten wir zunächst eine Partition einer gegebenen Teilmenge Q des Zustandsraums. Dann wird ein Regler in Form einer Suchtabelle berechnet, die jedem Element der Partition eine Menge von Kontrollwerten zuordnet, welche die Invarianz von Q garantieren. Nach der Reduktion der Suchtabelle von einer mengenwertigen zu einer einwertigen Abbildung, wird ein gewichteter Graph konstruiert. Für deterministische Systeme liefert der Logarithmus des Spektralradius einer Übergangsmatrix, die aus dem Graphen ermittelt wird, eine obere Schranke der Entropie. Für unsichere Systeme stellt das maximale durchschnittliche Zyklusgewicht des Graphen eine Oberschranke der IFE dar. Im deterministischen Fall zeigen wir, dass der Wert der ersten Oberschranke nicht größer als derjenige der zweiten Oberschranke ist. Als nächstes präsentieren wir die Ergebnisse der Algorithmen angewandt auf drei deterministische Beispielsysteme, für welche der exakte Wert der IED bekannt ist oder durch andere Methoden abgeschätzt werden kann. Zusätzlich liefert unser Algorithmus ein statisches Kodierungs- und Regelungsprotokoll, das der Schranke an die Datenrate entspricht. Schließlich präsentieren wir die berechneten Oberschranken der IFE eines unsicheren linearen Kontrollsystems., In classical control theory, the sensors and controllers are usually connected through point-to-point wiring. In networked control systems (NCS), sensors and controllers are often spatially distributed and involve digital communication networks for data transfer. Compared to classical control systems, NCS provide many advantages such as reduced wiring, low installation and maintenance costs, greater system flexibility and ease of modification. NCS find applications in many areas such as automobiles, intelligent buildings, and transportation networks. However, the use of communication networks in feedback control loops makes the analysis and design of NCS much more complex. In NCS, the use of digital channels for data transfer from sensors to controllers limits the amount of data that can be transferred per unit of time, due to the finite bandwidth of the channel. This introduces quantization errors that can adversely affect the control performance. The problem of control and state estimation over a digital communication channel with a limited bit rate has attracted a lot of attention in the past two decades. A tight lower bound on the data rate of a digital channel between the coder (near the sensor) and the controller, to achieve some control task such as stabilization or invariance, can be characterized in terms of some appropriate notion of entropy which is described as an intrinsic property of the system and is independent of the choice of the coder-controller. In the first part of this thesis, we describe invariance feedback entropy (IFE) that extends the notion of invariance entropy of deterministic nonlinear control systems to those with uncertainty. The IFE characterizes the necessary state information required by any controller to render a subset Q of the state space invariant. We discuss a number of elementary properties of the IFE, e.g. conditions for its finiteness and its equivalence to the well-known notion of invariance entropy (IED) in the deterministic case. We analyze uncertain linear control systems and derive a universal lower bound of the IFE. In the second part of this thesis, we consider interconnected control systems and seek to upper bound the IFE of the network using the IFE of the subsystems. In addition, we present three technical results related to the IFE. First, we show that the IFE of a nonempty subset Q of the state space of a discrete-time uncertain control system is upper bounded by the largest possible IFE among the members of any finite partition of Q. Second, we consider two uncertain control systems, S1 and S2, that have identical state spaces and identical control input sets. The set valued transition functions, F1 and F2, of the two systems are such that the image of any state-input pair under F1 is a subset of that under F2. For a given nonempty subset of the state space, we show that the IFE of S2 is larger than or equal to the IFE of S1. Third, we show that the IFE will never decrease by reducing the set of control inputs. To illustrate the effectiveness of the results, we compute an upper bound and a lower bound of the IFE of a network of uncertain, linear, discrete-time subsystems describing the evolution of temperatures of 100 rooms in a circular building. In the last part of this thesis, we present algorithms for the numerical estimation of the IFE. In particular, given a subset Q of the state space, we first partition it. Then a controller, in the form of a lookup table that assigns a set of control values to each cell of the partition, is computed to enforce invariance of Q. After reduction of the lookup table to a single-valued map from a set-valued one, a weighted directed graph is constructed. For deterministic systems, the logarithm of the spectral radius of a transition matrix obtained from the graph gives an upper bound of the entropy. For uncertain systems, the maximum mean cycle weight of the graph upper bounds the IFE. For deterministic systems, the value of the first upper bound is shown to be lower than or equal to the value of the second upper bound. Next, we present the results of the algorithms applied to three deterministic examples for which the exact value of the IED is known or can be estimated by other techniques. Additionally, our algorithm provides a static coder-controller scheme corresponding to the obtained data-rate bound. Finally, we present the computed upper bounds of the IFE for an uncertain linear control system.
Not available
Tomar, Mahendra Singh
2021
English
Universitätsbibliothek der Ludwig-Maximilians-Universität München
Tomar, Mahendra Singh (2021): Invariance feedback entropy of uncertain nonlinear control systems. Dissertation, LMU München: Faculty of Mathematics, Computer Science and Statistics
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Abstract

In der klassischen Kontrolltheorie geht man üblicherweise davon aus, dass Sensoren und Regler durch Punkt-zu-Punkt-Verkabelung miteinander verbunden sind. In vernetzten Kontrollsystemen (VKS) sind Sensoren und Regler oft räumlich verteilt und Daten werden mittels eines digitalen Kommunikationsnetzwerks übertragen. Im Vergleich zu klassischen Kontrollsystemen bieten VKS viele Vorteile wie z.B. reduzierte Verkabelung, geringe Installations- und Instandhaltungskosten, größere Systemflexibilität und einfache Modifizierbarkeit. VKS haben Anwendungen in vielen Bereichen, z.B. in der Fahrzeugtechnik, intelligenten Gebäuden und Transportnetzwerken. Jedoch macht die Verwendung von Kommunikationsnetzwerken in Regelschleifen die Analyse und den Entwurf von VKS wesentlich komplexer. Die Verwendung digitaler Kanäle in VKS beschränkt aufgrund der endlichen Bandbreite die Datenmenge, die pro Zeiteinheit von Sensoren zu Reglern übertragen werden kann. Dies führt zu Quantisierungsfehlern, welche die Regelungsperformance ungünstig beeinflussen können. Das Problem der Regelung und Zustandsschätzung über einen digitalen Kommunikationskanal mit beschränkter Bitrate hat in den letzten zwei Jahrzehnten viel Aufmerksamkeit erhalten. Eine scharfe untere Schranke der Datenrate eines digitalen Kanals zwischen dem Kodierer (in Sensornähe) und dem Regler, die zum Erreichen eines Regelungsziels wie z.B. Stabilisierung oder Invarianz benötigt wird, kann durch einen passenden Entropiebegriff als intrinsische Größe des Systems charakterisiert werden, und hängt nicht von der Wahl des Kodierers und Reglers ab. Im ersten Teil der Arbeit beschreiben wir die Invarianz-Feedback-Entropie (IFE), die den Begriff der Invarianz-Entropie für deterministische nichtlineare Kontrollsysteme auf unsichere Systeme erweitert. Die IFE charakterisiert die Zustandsinformation, die von einem Regler benötigt wird, um eine Teilmenge Q des Zustandsraums invariant zu machen. Wir diskutieren eine Anzahl von elementaren Eigenschaften der IFE, z.B. Bedingungen für ihre Endlichkeit und die im deterministischen Spezialfall vorliegende Äquivalenz zum wohlbekannten Begriff der Invarianz-Entropie (IED). Wir analysieren unsichere lineare Kontrollsysteme und leiten eine universelle Unterschranke der IFE her. Im zweiten Teil der Arbeit betrachten wir vernetzte Kontrollsysteme und streben eine obere Schranke der IFE eines Netzwerks in Termen der IFE der Teilsysteme an. Außerdem präsentieren wir drei technische Resultate. Zuerst zeigen wir, dass die IFE einer nichtleeren Teilmenge Q des Zustandsraums eines zeitdiskreten unsicheren Kontrollsystems nach oben durch die größte IFE der Mengen in einer beliebigen endlichen Partition von Q beschränkt ist. Im zweiten Resultat betrachten wir unsichere Kontrollsysteme S1 und S2 mit identischen Zustands- und Eingangsräumen. Die mengenwertigen Übergangsfunktionen F1 und F2 der beiden Systeme sind nach Annahme so beschaffen, dass das Bild eines beliebigen Zustands-Eingangs-Paars unter F1 in dem entsprechenden Bild unter F2 enthalten ist. Für eine gegebene nichtleere Teilmenge des Zustandsraums zeigen wir, dass die IFE von S2 größer oder gleich derjenigen von S1 ist. Das dritte Resultat zeigt, dass die IFE niemals kleiner wird, wenn man die Menge der Kontrolleingänge verkleinert. Um die Effektivität der Resultate zu illustrieren, berechnen wir eine Ober- und eine Unterschranke der IFE eines Netzwerks von unsicheren, linearen, zeitdiskreten Systemen, welche den zeitlichen Verlauf der Temperaturen in 100 Räumen eines zirkulären Gebäudes beschreiben. Im letzten Teil der Arbeit präsentieren wir Algorithmen für die numerische Abschätzung der IFE. Dazu betrachten wir zunächst eine Partition einer gegebenen Teilmenge Q des Zustandsraums. Dann wird ein Regler in Form einer Suchtabelle berechnet, die jedem Element der Partition eine Menge von Kontrollwerten zuordnet, welche die Invarianz von Q garantieren. Nach der Reduktion der Suchtabelle von einer mengenwertigen zu einer einwertigen Abbildung, wird ein gewichteter Graph konstruiert. Für deterministische Systeme liefert der Logarithmus des Spektralradius einer Übergangsmatrix, die aus dem Graphen ermittelt wird, eine obere Schranke der Entropie. Für unsichere Systeme stellt das maximale durchschnittliche Zyklusgewicht des Graphen eine Oberschranke der IFE dar. Im deterministischen Fall zeigen wir, dass der Wert der ersten Oberschranke nicht größer als derjenige der zweiten Oberschranke ist. Als nächstes präsentieren wir die Ergebnisse der Algorithmen angewandt auf drei deterministische Beispielsysteme, für welche der exakte Wert der IED bekannt ist oder durch andere Methoden abgeschätzt werden kann. Zusätzlich liefert unser Algorithmus ein statisches Kodierungs- und Regelungsprotokoll, das der Schranke an die Datenrate entspricht. Schließlich präsentieren wir die berechneten Oberschranken der IFE eines unsicheren linearen Kontrollsystems.

Abstract

In classical control theory, the sensors and controllers are usually connected through point-to-point wiring. In networked control systems (NCS), sensors and controllers are often spatially distributed and involve digital communication networks for data transfer. Compared to classical control systems, NCS provide many advantages such as reduced wiring, low installation and maintenance costs, greater system flexibility and ease of modification. NCS find applications in many areas such as automobiles, intelligent buildings, and transportation networks. However, the use of communication networks in feedback control loops makes the analysis and design of NCS much more complex. In NCS, the use of digital channels for data transfer from sensors to controllers limits the amount of data that can be transferred per unit of time, due to the finite bandwidth of the channel. This introduces quantization errors that can adversely affect the control performance. The problem of control and state estimation over a digital communication channel with a limited bit rate has attracted a lot of attention in the past two decades. A tight lower bound on the data rate of a digital channel between the coder (near the sensor) and the controller, to achieve some control task such as stabilization or invariance, can be characterized in terms of some appropriate notion of entropy which is described as an intrinsic property of the system and is independent of the choice of the coder-controller. In the first part of this thesis, we describe invariance feedback entropy (IFE) that extends the notion of invariance entropy of deterministic nonlinear control systems to those with uncertainty. The IFE characterizes the necessary state information required by any controller to render a subset Q of the state space invariant. We discuss a number of elementary properties of the IFE, e.g. conditions for its finiteness and its equivalence to the well-known notion of invariance entropy (IED) in the deterministic case. We analyze uncertain linear control systems and derive a universal lower bound of the IFE. In the second part of this thesis, we consider interconnected control systems and seek to upper bound the IFE of the network using the IFE of the subsystems. In addition, we present three technical results related to the IFE. First, we show that the IFE of a nonempty subset Q of the state space of a discrete-time uncertain control system is upper bounded by the largest possible IFE among the members of any finite partition of Q. Second, we consider two uncertain control systems, S1 and S2, that have identical state spaces and identical control input sets. The set valued transition functions, F1 and F2, of the two systems are such that the image of any state-input pair under F1 is a subset of that under F2. For a given nonempty subset of the state space, we show that the IFE of S2 is larger than or equal to the IFE of S1. Third, we show that the IFE will never decrease by reducing the set of control inputs. To illustrate the effectiveness of the results, we compute an upper bound and a lower bound of the IFE of a network of uncertain, linear, discrete-time subsystems describing the evolution of temperatures of 100 rooms in a circular building. In the last part of this thesis, we present algorithms for the numerical estimation of the IFE. In particular, given a subset Q of the state space, we first partition it. Then a controller, in the form of a lookup table that assigns a set of control values to each cell of the partition, is computed to enforce invariance of Q. After reduction of the lookup table to a single-valued map from a set-valued one, a weighted directed graph is constructed. For deterministic systems, the logarithm of the spectral radius of a transition matrix obtained from the graph gives an upper bound of the entropy. For uncertain systems, the maximum mean cycle weight of the graph upper bounds the IFE. For deterministic systems, the value of the first upper bound is shown to be lower than or equal to the value of the second upper bound. Next, we present the results of the algorithms applied to three deterministic examples for which the exact value of the IED is known or can be estimated by other techniques. Additionally, our algorithm provides a static coder-controller scheme corresponding to the obtained data-rate bound. Finally, we present the computed upper bounds of the IFE for an uncertain linear control system.