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Quantum Hall effect in interacting fermionic lattice models
Quantum Hall effect in interacting fermionic lattice models
Die Entdeckung des Quanten-Hall (QH) Effekts stellt die erste Beobachtung von topologischen Phasen in Quantensystemen dar: Physikalische (Transport-) Eigenschaften eines Festkörpers nehmen exakt ganzzahlige Werte an, unabhängig von mikroskopischen Details des Materials. Symmetriegeschützte topologische Zustände wurden mittlerweile vollständig klassifiziert und weitere topologische Ordnungen im Experiment beobachtet. Fragen bezüglich des Zusammenspiels von topologischen Eigenschaften und starker Teilchen-Wechselwirkung bleiben jedoch unbeantwortet: Interaktionen liegen dem fraktionalen QH-Effekt zugrunde und es wird vermutet, dass sie anyonische Anregungen hervorrufen können. Ultrakalte Atome in optischen Gittern bieten vielversprechende Möglichkeiten, um diese Theorien zu überprüfen. Die Realisierung topologischer Bandstrukturen und starker Wechselwirkung in diesen Experimenten stellt jedoch nach wie vor Schwierigkeiten dar. In dieser Arbeit untersuchen wir alternative Wege, um topologische Eigenschaften in Vielteilchensystemen zu realisieren und zu messen. Unserem Ansatz liegt die Analogie von 2D QH-Modellen, wie dem Hofstadter-Modell, und Familien von 1D Systemen, also topologischen Pumpen, zugrunde. Mittels numerischer Methoden untersuchen wir, ob es ähnliche Zusammenhänge in stark interagierenden Systemen gibt. Wir verwenden den DMRG Algorithmus, um Grundzustände wechselwirkender Gittermodelle zu finden. Dadurch beobachten wir Quantenphasenübergänge von einzelnen, endlichen Modellen, sowie topologische Phasenübergänge der Familien von Grundzuständen. Der erste Teil beschäftigt sich mit Familien von 1D Modellen. Wir stellen fest, dass das Hinzufügen von Wechselwirkungen zu Mott-isolierenden Phasen für halbgefüllte Bänder führt, welche nicht triviale topologische Eigenschaften haben können. Außerdem beobachten wir, dass Teilchen-Interaktion bereits existierende topologische Eigenschaften ändern kann: Einige Systeme unserer Familie entsprechen dem AB_2 ionischen Hubbard-Modell, welches einen wechselwirkungsbedingten, zweifachen Phasenübergang zu einem stark korrelierten Isolator aufweist. Für starke Wechselwirkungen ist die transportierte Ladung auch topologisch quantisiert, jedoch ändern sich Vorzeichen und Betrag der Chern-Zahl. Wir bestimmen den topologischen Index durch numerische Integration der Vielteilchen Berry-Krümmung und zeigen, dass er auch mittels des Massenzentrums gemessen werden kann. Im zweiten Teil behandeln wir die Beziehung von interagierenden 1D Ladungspumpen und wechselwirkenden 2D QH-Modellen. Um beide Systeme numerisch zu untersuchen betrachten wir das Hofstadter-Modell auf einem Zylinder und drücken es in gemischter Real- und Impulsraumbasis aus. In dieser können wir die Verbindung der interagierenden 1D und 2D Modelle parametrisieren. Die zylindrische Geometrie erlaubt uns außerdem topologische Eigenschaften zu bestimmen, indem wir permanente Ströme als Antwort auf ein lineares Potential berechnen. Wir können den topologischen Übergang der 1D Ladungspumpen reproduzieren, aber das Hofstadter-Hubbard-Modell bleibt durch einen topologischen Phasenübergang von stark wechselwirkenden 1D Systemen getrennt. Zwischen den 1D und 2D Hubbard Modellen finden wir ferromagnetische Grundzustände, welche einige topologische Eigenschaften erklären könnten., The discovery of the quantum Hall effect marks the first observation of quantum systems with topological properties: Physical observables, typically related to transport, of a solid-state system take exactly integer-quantized values, regardless of material properties or microscopic details. Today, symmetry-protected topological phases have been fully classified, and other topological orders have also been observed in experiments. However, there are open questions about the interplay of topological properties and strong particle interaction: Interactions are at the heart of the fractional quantum Hall effect, and are conjectured to give rise to anyonic excitations. Ultracold atoms in optical lattices promise to be the highly controllable experimental platform to test these theoretical predictions. However, realizing topological band structures with strong particle interactions in these experiments remains challenging. In this thesis, we research alternative pathways to realizing and measuring topological properties in many-body systems. Our approach is based on the analogy of 2D quantum Hall models, e.g. the Hofstadter model, and families of 1D Hamiltonians, i.e., topological charge pumps. We study numerically, whether we can find a correspondence of 1D and 2D models as strong particle interactions are added. We use the DMRG algorithm to find ground states of interacting lattice models. Thus, we can observe quantum phase transitions of individual finite-size models, and topological phase transitions of families of ground states. The first part of this thesis considers families of one-dimensional models. We find that introducing interactions creates Mott-insulating phases for half-filled bands, which can exhibit nontrivial topological properties. Furthermore, we find that particle interaction can also change existing topological properties: Some Hamiltonians of our family correspond to the AB_2 ionic Hubbard model, which is known to have an interaction-driven, two-fold quantum phase transition towards a strongly correlated insulator. For strong interactions, the pumped charge remains topologically quantized, but sign and magnitude of the Chern number change. We compute the topological index by numerically integrating the many-body Berry curvature, and we show how it can also be obtained from center-of-mass measurements. In the second part, we discuss the relation of interacting 1D charge pumps and interacting quantum Hall models. To study both systems numerically, we put the Hofstadter model on a cylinder, and express it in a mixed real- and momentum-space basis. Thereby, we can parameterize the connection of the interacting 1D and 2D models. Furthermore, the cylindrical geometry allows us to probe topological properties by computing persistent Hall currents as response to a linear potential. We can reproduce the topological transition found in the interacting 1D charge pumps, but find that the Hofstadter-Hubbard model is separated by a topological phase transition from strongly-interacting 1D systems. Between the one- and two-dimensional Hubbard limits, we find models with a ferromagnetic ground state, which could explain some topological properties.
Quantum Hall, Topological pump, Hofstadter model, DMRG
Stenzel, Leo Johannes Martin
2020
English
Universitätsbibliothek der Ludwig-Maximilians-Universität München
Stenzel, Leo Johannes Martin (2020): Quantum Hall effect in interacting fermionic lattice models. Dissertation, LMU München: Faculty of Physics
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Abstract

Die Entdeckung des Quanten-Hall (QH) Effekts stellt die erste Beobachtung von topologischen Phasen in Quantensystemen dar: Physikalische (Transport-) Eigenschaften eines Festkörpers nehmen exakt ganzzahlige Werte an, unabhängig von mikroskopischen Details des Materials. Symmetriegeschützte topologische Zustände wurden mittlerweile vollständig klassifiziert und weitere topologische Ordnungen im Experiment beobachtet. Fragen bezüglich des Zusammenspiels von topologischen Eigenschaften und starker Teilchen-Wechselwirkung bleiben jedoch unbeantwortet: Interaktionen liegen dem fraktionalen QH-Effekt zugrunde und es wird vermutet, dass sie anyonische Anregungen hervorrufen können. Ultrakalte Atome in optischen Gittern bieten vielversprechende Möglichkeiten, um diese Theorien zu überprüfen. Die Realisierung topologischer Bandstrukturen und starker Wechselwirkung in diesen Experimenten stellt jedoch nach wie vor Schwierigkeiten dar. In dieser Arbeit untersuchen wir alternative Wege, um topologische Eigenschaften in Vielteilchensystemen zu realisieren und zu messen. Unserem Ansatz liegt die Analogie von 2D QH-Modellen, wie dem Hofstadter-Modell, und Familien von 1D Systemen, also topologischen Pumpen, zugrunde. Mittels numerischer Methoden untersuchen wir, ob es ähnliche Zusammenhänge in stark interagierenden Systemen gibt. Wir verwenden den DMRG Algorithmus, um Grundzustände wechselwirkender Gittermodelle zu finden. Dadurch beobachten wir Quantenphasenübergänge von einzelnen, endlichen Modellen, sowie topologische Phasenübergänge der Familien von Grundzuständen. Der erste Teil beschäftigt sich mit Familien von 1D Modellen. Wir stellen fest, dass das Hinzufügen von Wechselwirkungen zu Mott-isolierenden Phasen für halbgefüllte Bänder führt, welche nicht triviale topologische Eigenschaften haben können. Außerdem beobachten wir, dass Teilchen-Interaktion bereits existierende topologische Eigenschaften ändern kann: Einige Systeme unserer Familie entsprechen dem AB_2 ionischen Hubbard-Modell, welches einen wechselwirkungsbedingten, zweifachen Phasenübergang zu einem stark korrelierten Isolator aufweist. Für starke Wechselwirkungen ist die transportierte Ladung auch topologisch quantisiert, jedoch ändern sich Vorzeichen und Betrag der Chern-Zahl. Wir bestimmen den topologischen Index durch numerische Integration der Vielteilchen Berry-Krümmung und zeigen, dass er auch mittels des Massenzentrums gemessen werden kann. Im zweiten Teil behandeln wir die Beziehung von interagierenden 1D Ladungspumpen und wechselwirkenden 2D QH-Modellen. Um beide Systeme numerisch zu untersuchen betrachten wir das Hofstadter-Modell auf einem Zylinder und drücken es in gemischter Real- und Impulsraumbasis aus. In dieser können wir die Verbindung der interagierenden 1D und 2D Modelle parametrisieren. Die zylindrische Geometrie erlaubt uns außerdem topologische Eigenschaften zu bestimmen, indem wir permanente Ströme als Antwort auf ein lineares Potential berechnen. Wir können den topologischen Übergang der 1D Ladungspumpen reproduzieren, aber das Hofstadter-Hubbard-Modell bleibt durch einen topologischen Phasenübergang von stark wechselwirkenden 1D Systemen getrennt. Zwischen den 1D und 2D Hubbard Modellen finden wir ferromagnetische Grundzustände, welche einige topologische Eigenschaften erklären könnten.

Abstract

The discovery of the quantum Hall effect marks the first observation of quantum systems with topological properties: Physical observables, typically related to transport, of a solid-state system take exactly integer-quantized values, regardless of material properties or microscopic details. Today, symmetry-protected topological phases have been fully classified, and other topological orders have also been observed in experiments. However, there are open questions about the interplay of topological properties and strong particle interaction: Interactions are at the heart of the fractional quantum Hall effect, and are conjectured to give rise to anyonic excitations. Ultracold atoms in optical lattices promise to be the highly controllable experimental platform to test these theoretical predictions. However, realizing topological band structures with strong particle interactions in these experiments remains challenging. In this thesis, we research alternative pathways to realizing and measuring topological properties in many-body systems. Our approach is based on the analogy of 2D quantum Hall models, e.g. the Hofstadter model, and families of 1D Hamiltonians, i.e., topological charge pumps. We study numerically, whether we can find a correspondence of 1D and 2D models as strong particle interactions are added. We use the DMRG algorithm to find ground states of interacting lattice models. Thus, we can observe quantum phase transitions of individual finite-size models, and topological phase transitions of families of ground states. The first part of this thesis considers families of one-dimensional models. We find that introducing interactions creates Mott-insulating phases for half-filled bands, which can exhibit nontrivial topological properties. Furthermore, we find that particle interaction can also change existing topological properties: Some Hamiltonians of our family correspond to the AB_2 ionic Hubbard model, which is known to have an interaction-driven, two-fold quantum phase transition towards a strongly correlated insulator. For strong interactions, the pumped charge remains topologically quantized, but sign and magnitude of the Chern number change. We compute the topological index by numerically integrating the many-body Berry curvature, and we show how it can also be obtained from center-of-mass measurements. In the second part, we discuss the relation of interacting 1D charge pumps and interacting quantum Hall models. To study both systems numerically, we put the Hofstadter model on a cylinder, and express it in a mixed real- and momentum-space basis. Thereby, we can parameterize the connection of the interacting 1D and 2D models. Furthermore, the cylindrical geometry allows us to probe topological properties by computing persistent Hall currents as response to a linear potential. We can reproduce the topological transition found in the interacting 1D charge pumps, but find that the Hofstadter-Hubbard model is separated by a topological phase transition from strongly-interacting 1D systems. Between the one- and two-dimensional Hubbard limits, we find models with a ferromagnetic ground state, which could explain some topological properties.