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Realization of Floquet topological systems with ultracold atoms in optical honeycomb lattices
Realization of Floquet topological systems with ultracold atoms in optical honeycomb lattices
This thesis reports on the realization of Floquet topological systems with ultracold atoms in an optical honeycomb lattice. Using periodically driven quantum systems, topological phases of matter can be simulated by an effective, static Hamiltonian related to the time-evolution at integer multiples of the driving period, which is known as Floquet engineering. However, periodic driving can also give rise to genuinely time-dependent settings without static counterparts. One example is the anomalous Floquet phase in two dimensions, in which all bulk bands have a Chern number of zero but nevertheless robust chiral edge modes appear, which would be precluded by the bulk-edge correspondence in a static system. In an optical honeycomb lattice, anomalous Floquet systems can be created by continuous, periodic modulation of the laser intensities. This driving scheme results in different topological regimes, three of which are investigated, including the anomalous Floquet phase and a Haldane-like phase. Periodically driven systems feature periodic quasienergies and can be characterized in terms of winding numbers, which count the number of chiral edge modes in each quasienergy gap. By interferometric measurements of the quasienergy gaps between the first two Floquet bands, the topological phase transitions, emerging as gap closings, are located. For periodically driven systems, a modified bulk-edge correspondence can be formulated. In particular, the change of the winding number at a phase transition is related to the sign change of the local Berry curvature. The Berry curvature at the gap closing points is probed by Hall deflection measurements to obtain the winding numbers in each of the topological regimes, revealing the existence of chiral edge modes also in a setting with smooth boundaries as used in the experiments. The measured quasienergy gaps and transverse deflections are quantitatively well described by a numerical calculation of the Floquet bandstructure that includes coupling to higher bands during the driving period. To derive the spectrum of the modulated lattice in a geometry with edges, a tight-binding description of the system is discussed. Circular phase modulation of the honeycomb lattice can also give rise to an anomalous Floquet system when inversion symmetry is broken. The topological phase diagrams and the experimental feasibility are compared for both modulation schemes. Due to the vanishing Chern numbers, the bulk states in the anomalous Floquet regime can be fully localized by a disorder potential. This could prevent heating in interacting, periodically driven systems, resulting in a many-body localized bulk coexisting with thermalizing edge states. The experimental realization of disorder and strong interactions, as well as independent probes of the edge states are investigated. Bloch band geometry can be extended to multiband systems, using Wilson lines. The possible symmetry protection of their eigenvalues is discussed, along with measurements in the optical honeycomb lattice. Moreover, the onset of heating in weakly-interacting, periodically driven systems, triggered by parametric instabilities, is studied experimentally in a one-dimensional lattice., Diese Doktorarbeit beschreibt die Realisierung von topologischen Floquet-Systemen mit ultrakalten Atomen in einem optischen, zweidimensionalen hexagonalen Gitter. Topologische Phasen können mittels periodisch getriebener Quantensysteme simuliert werden. Dabei wird ein statisches System als Zeit-Mittel über eine Modulationsperiode dargestellt, was unter dem Begriff Floquet-Engineering bekannt ist. Periodische Modulation kann jedoch auch dazu verwendet werden, intrinsisch zeit-abhängige Konfigurationen zu erzeugen, die in keinem statischen System auftreten können. Ein Beispiel dafür sind zweidimensionale, anomale Floquet-Phasen, in denen die Chern-Zahlen aller Energiebänder gleich null sind, aber trotzdem robuste Randzustände existieren. Ein statisches System hingegen, in dem alle Chern-Zahlen verschwinden, ist topologisch trivial. Im optischen, hexagonalen Gitter können anomale Floquet-Systeme durch kontinuierliche, periodische Modulation der Laser-Intensitäten erzeugt werden. Das resultierende topologische Phasen-Diagramm beinhaltet unterschiedliche Bereiche, von denen drei genauer untersucht werden, unter anderem die anomale Floquet-Phase und eine Haldane-ähnliche Phase. Zeit-periodische Systeme besitzen periodische Quasi-Energien und können durch Windungszahlen beschrieben werden, welche die Anzahl der Randzustände in den Quasi-Energie-Lücken angeben. Das Schließen der Bandlücken definiert topologische Phasen-Übergänge, die mit Hilfe von interferometrischen Messungen nachgewiesen werden. Die entsprechende Änderung der Windungszahlen ist mit einem Vorzeichenwechsel der Berry-Krümmung an den Berührpunkten der Bänder verknüpft. Die Berry-Krümmung im Impulsraum wird anhand einer transversalen Ablenkung im Realraum gemessen, was die Bestimmung der Windungszahlen ermöglicht. Dies gibt direkt Aufschluss über die Existenz von Randzuständen, auch in einem System mit flachen Rändern, wie es im Experiment verwendet wird. Die gemessenen Bandlücken und transversalen Ablenkungen stimmen quantitativ sehr gut mit theoretischen Werten überein, die auf einer numerischen Berechnung der Floquet-Bandstruktur basieren. Um ein System mit Rändern zu beschreiben, wird außerdem ein Tight-Binding-Modell für das modulierte Gitter eingeführt. Anomale Floquet-Phasen können ebenfalls in frequenz-modulierten, zweidimensionalen hexagonalen Gittern auftreten, falls die Inversions-Symmetrie des Gitters gebrochen wird. Die beiden Modulations-Schemata werden hinsichtlich ihrer Phasen-Diagramme und der experimentellen Umsetzbarkeit verglichen. Die Zustände im Inneren eines anomalen Floquet-Systems können durch ein ungeordnetes Potential vollständig lokalisiert werden, was dazu verwendet werden könnte, wechselwirkende, periodisch getriebene Systeme gegen Heizeffekte zu stabilisieren. Die experimentelle Realisierung eines ungeordneten Potentials und starker Wechselwirkung wird diskutiert, ebenso wie eine direkte Messung der Randzustände. Darüber hinaus werden die Eigenwerte von Wilson-Linien im zweidimensionalen hexagonalen Gitter betrachtet, welche die geometrischen Eigenschaften von entarteten Bloch-Bändern beschreiben, sowie Heizeffekte in schwach-wechselwirkenden, getriebenen Systemen am Beispiel eines eindimensionalen Gitters untersucht.
ultracold atoms, quantum gases, quantum simulation, topology, Floquet engineering, anomalous Floquet phases, chiral edge modes, winding numbers, topological charge, topological phase transitions, Wilson lines, parametric instabilities
Wintersperger, Karen
2020
English
Universitätsbibliothek der Ludwig-Maximilians-Universität München
Wintersperger, Karen (2020): Realization of Floquet topological systems with ultracold atoms in optical honeycomb lattices. Dissertation, LMU München: Faculty of Physics
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Abstract

This thesis reports on the realization of Floquet topological systems with ultracold atoms in an optical honeycomb lattice. Using periodically driven quantum systems, topological phases of matter can be simulated by an effective, static Hamiltonian related to the time-evolution at integer multiples of the driving period, which is known as Floquet engineering. However, periodic driving can also give rise to genuinely time-dependent settings without static counterparts. One example is the anomalous Floquet phase in two dimensions, in which all bulk bands have a Chern number of zero but nevertheless robust chiral edge modes appear, which would be precluded by the bulk-edge correspondence in a static system. In an optical honeycomb lattice, anomalous Floquet systems can be created by continuous, periodic modulation of the laser intensities. This driving scheme results in different topological regimes, three of which are investigated, including the anomalous Floquet phase and a Haldane-like phase. Periodically driven systems feature periodic quasienergies and can be characterized in terms of winding numbers, which count the number of chiral edge modes in each quasienergy gap. By interferometric measurements of the quasienergy gaps between the first two Floquet bands, the topological phase transitions, emerging as gap closings, are located. For periodically driven systems, a modified bulk-edge correspondence can be formulated. In particular, the change of the winding number at a phase transition is related to the sign change of the local Berry curvature. The Berry curvature at the gap closing points is probed by Hall deflection measurements to obtain the winding numbers in each of the topological regimes, revealing the existence of chiral edge modes also in a setting with smooth boundaries as used in the experiments. The measured quasienergy gaps and transverse deflections are quantitatively well described by a numerical calculation of the Floquet bandstructure that includes coupling to higher bands during the driving period. To derive the spectrum of the modulated lattice in a geometry with edges, a tight-binding description of the system is discussed. Circular phase modulation of the honeycomb lattice can also give rise to an anomalous Floquet system when inversion symmetry is broken. The topological phase diagrams and the experimental feasibility are compared for both modulation schemes. Due to the vanishing Chern numbers, the bulk states in the anomalous Floquet regime can be fully localized by a disorder potential. This could prevent heating in interacting, periodically driven systems, resulting in a many-body localized bulk coexisting with thermalizing edge states. The experimental realization of disorder and strong interactions, as well as independent probes of the edge states are investigated. Bloch band geometry can be extended to multiband systems, using Wilson lines. The possible symmetry protection of their eigenvalues is discussed, along with measurements in the optical honeycomb lattice. Moreover, the onset of heating in weakly-interacting, periodically driven systems, triggered by parametric instabilities, is studied experimentally in a one-dimensional lattice.

Abstract

Diese Doktorarbeit beschreibt die Realisierung von topologischen Floquet-Systemen mit ultrakalten Atomen in einem optischen, zweidimensionalen hexagonalen Gitter. Topologische Phasen können mittels periodisch getriebener Quantensysteme simuliert werden. Dabei wird ein statisches System als Zeit-Mittel über eine Modulationsperiode dargestellt, was unter dem Begriff Floquet-Engineering bekannt ist. Periodische Modulation kann jedoch auch dazu verwendet werden, intrinsisch zeit-abhängige Konfigurationen zu erzeugen, die in keinem statischen System auftreten können. Ein Beispiel dafür sind zweidimensionale, anomale Floquet-Phasen, in denen die Chern-Zahlen aller Energiebänder gleich null sind, aber trotzdem robuste Randzustände existieren. Ein statisches System hingegen, in dem alle Chern-Zahlen verschwinden, ist topologisch trivial. Im optischen, hexagonalen Gitter können anomale Floquet-Systeme durch kontinuierliche, periodische Modulation der Laser-Intensitäten erzeugt werden. Das resultierende topologische Phasen-Diagramm beinhaltet unterschiedliche Bereiche, von denen drei genauer untersucht werden, unter anderem die anomale Floquet-Phase und eine Haldane-ähnliche Phase. Zeit-periodische Systeme besitzen periodische Quasi-Energien und können durch Windungszahlen beschrieben werden, welche die Anzahl der Randzustände in den Quasi-Energie-Lücken angeben. Das Schließen der Bandlücken definiert topologische Phasen-Übergänge, die mit Hilfe von interferometrischen Messungen nachgewiesen werden. Die entsprechende Änderung der Windungszahlen ist mit einem Vorzeichenwechsel der Berry-Krümmung an den Berührpunkten der Bänder verknüpft. Die Berry-Krümmung im Impulsraum wird anhand einer transversalen Ablenkung im Realraum gemessen, was die Bestimmung der Windungszahlen ermöglicht. Dies gibt direkt Aufschluss über die Existenz von Randzuständen, auch in einem System mit flachen Rändern, wie es im Experiment verwendet wird. Die gemessenen Bandlücken und transversalen Ablenkungen stimmen quantitativ sehr gut mit theoretischen Werten überein, die auf einer numerischen Berechnung der Floquet-Bandstruktur basieren. Um ein System mit Rändern zu beschreiben, wird außerdem ein Tight-Binding-Modell für das modulierte Gitter eingeführt. Anomale Floquet-Phasen können ebenfalls in frequenz-modulierten, zweidimensionalen hexagonalen Gittern auftreten, falls die Inversions-Symmetrie des Gitters gebrochen wird. Die beiden Modulations-Schemata werden hinsichtlich ihrer Phasen-Diagramme und der experimentellen Umsetzbarkeit verglichen. Die Zustände im Inneren eines anomalen Floquet-Systems können durch ein ungeordnetes Potential vollständig lokalisiert werden, was dazu verwendet werden könnte, wechselwirkende, periodisch getriebene Systeme gegen Heizeffekte zu stabilisieren. Die experimentelle Realisierung eines ungeordneten Potentials und starker Wechselwirkung wird diskutiert, ebenso wie eine direkte Messung der Randzustände. Darüber hinaus werden die Eigenwerte von Wilson-Linien im zweidimensionalen hexagonalen Gitter betrachtet, welche die geometrischen Eigenschaften von entarteten Bloch-Bändern beschreiben, sowie Heizeffekte in schwach-wechselwirkenden, getriebenen Systemen am Beispiel eines eindimensionalen Gitters untersucht.