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Symmetries & tensor networks in two-dimensional quantum physics
Symmetries & tensor networks in two-dimensional quantum physics
The most general description of a quantum many-body system is given by a wave- function that lives in a Hilbert space with dimension exponential in the number of particles. This makes it extremely hard to study strongly correlated phenomena like the fractional quantum Hall effect and high-temperature superconductivity. Whenever interactions are sufficiently local and temperature is low, the system does not explore the full Hilbert space, but its ground state resides in the small corner of Hilbert space described by the area law. Containing little entanglement, the states can then be expressed as tensor networks, a family of wavefunctions with a polynomial number of parameters. On the one hand, tensor networks can be used as a variational manifold in nu- merical computations. On the other hand, they allow building model wavefunctions much like locality allows writing down physically realistic Hamiltonians. Besides allowing for an analytical treatment, these models grant access both to the physical and the entanglement degrees of freedom. This is particularly useful in classifying phases of matter. A large number of phases can be explained in terms of Landau’s symmetry-breaking paradigm. This framework, however, is not complete, as exemplified by the existence of phases with intrinsic topological order in two dimensions. It was a major conceptual advance when tensor networks could explain (non-chiral) topological phases as those where the symmetry resides in the entanglement degrees of freedom. The symmetries corresponding to those topological phases act as discrete, finite groups on the virtual degrees of freedom. The purpose of this Thesis is to generalize this program to include other symmetries. We investigate a class of tensor networks with continuous symmetries and find that they cannot describe gapped physics with a unique ground state. The abelian case is found to describe a non-Lorentz invariant phase transition point into a topologically ordered phase. The physics of the non- abelian case is that of a plaquette state that spontaneously breaks the translation symmetry of the lattice. The non-abelian PEPS arises as the ground state of a local parent Hamiltonian whose ground state manifold is completely characterized by the tensor network. In both cases, we find two types of corrections to the entanglement entropy: first there is a correction that is logarithmic in the size of the boundary and independent of the shape. A further correction depends only on the shape of the partition, imposing further restrictions on regions that are suffciently thin. Finally, we investigate symmetries that mix the virtual with the physical degrees of freedom and are furthermore anisotropic. Their physics is described by subsystem symmetry protected topological order. In particular, we focus on the entanglement entropy in the cluster phase and show that there is a universal constant correction to the entropy throughout the phase. This is important in the program of establishing the entanglement entropy as a detection mechanism for topologically ordered phases. We put forward a numerical algorithm to compute the correction and use it to discover a novel phase of matter in which the cluster phase is embedded., Die allgemeinste Beschreibung eines Quanten-Vielteilchensystems ergibt sich aus einer Wellenfunktion, die in einem Hilbert-Raum lebt, dessen Dimension exponentiell in der Anzahl der Teilchen ist. Dies macht es äußerst schwierig, stark korrelierte Phänomene wie den fraktionalen Quanten-Hall-Effekt und die Hochtemperatursupraleitung zu untersuchen. Wenn die Wechselwirkungen ausreichend lokal sind und die Temperatur niedrig ist, steht dem System nicht der gesamte Hilbert-Raum zur Verfügung. Sein Grundzustand befindet sich in der kleinen "Ecke" des Hilbert-Raums, die durch das area law beschrieben wird. Mit wenig Verschränkung können die Zustände dann als Tensornetzwerke ausgedrückt werden, eine Familie von Wellenfunktionen mit einer polynomiellen Anzahl von Parametern. Einerseits können Tensornetzwerke als variationelle Ansätze bei numerischen Berechnungen verwendet werden. Auf der anderen Seite ermöglichen sie das Erstellen von Modellwellenfunktionen. Diese Modelle ermöglichen nicht nur eine analytische Behandlung, sondern gewähren auch Zugang zu den physikalischen und den Verschränkungsfreiheitsgraden. Dies ist besonders nützlich bei der Klassifizierung von Phasen der Materie. Eine große Anzahl von Phasen kann mit Landaus Theorie der Symmetriebrechung erklärt werden. Diese Beschreibung ist jedoch nicht vollständig, was durch die Existenz von Phasen mit intrinsischer topologischer Ordnung in zwei Dimensionen veranschaulicht wird. Es war ein großer konzeptioneller Fortschritt, als Tensornetzwerke (nicht-chirale) topologische Phasen als solche identifizieren konnten, bei denen die Symmetrie in den Verschränkungsfreiheitsgraden liegt. Die diesen topologischen Phasen entsprechenden Symmetrien wirken als diskrete, endliche Gruppen auf den virtuellen Freiheitsgraden. Der Zweck dieser Arbeit ist es, dieses Programm auf andere Symmetrien zu verallgemeinern. Wir untersuchen eine Klasse von Tensornetzwerken mit kontinuierlichen Symmetrien und stellen fest, dass sie keine mit eindeutigen Grundzustand unter einer Energielücke beschreiben können. Der abelsche Fall beschreibt einen nicht-Lorentz-invarianten Phasenübergangspunkt in eine topologisch geordnete Phase. Die Physik des nicht-abelschen Falls ist die eines Plaquette-Zustands, der spontan die Translationssymmetrie des Gitters bricht. Der nicht-abelsche PEPS entsteht als Grundzustand eines lokalen \textit{parent}-Hamiltonians, dessen Grundzustandsunterraum vollständig durch das Tensornetzwerk beschrieben wird. In beiden Fällen finden wir zwei Arten von Korrekturen an der Verschränkungsentropie: Erstens gibt es eine Korrektur, die in der Größe der Grenze logarithmisch und unabhängig von der Form ist. Eine weitere Korrektur hängt nur von der Form des Schnitts ab ab, wodurch ausreichend dünne Bereiche weiter eingeschränkt werden. Schließlich untersuchen wir Symmetrien, die virtuelle und physikalische Freiheitsgraden mischen und darüber hinaus anisotrop sind. Ihre Physik wird durch topologische Ordnung beschrieben, die stabil ist solange bestimmte Subsystem-Symmetrien nicht gebrochen werden. Insbesondere konzentrieren wir uns auf die Verschränkungsentropie in der Clusterphase und zeigen, dass die Entropie in der gesamten Phase universell eine konstante Korrektur erhält. Dies ist wichtig im Programm zur Etablierung der Verschränkungsentropie als Detektionsmechanismus für topologisch geordnete Phasen. Wir schlagen einen numerischen Algorithmus vor, um die Korrektur zu berechnen und entdecken eine neue Phase der Materie, in die die Clusterphase eingebettet ist.
Quantum Physics, Tensor Networks
Dreyer, Henrik
2020
English
Universitätsbibliothek der Ludwig-Maximilians-Universität München
Dreyer, Henrik (2020): Symmetries & tensor networks in two-dimensional quantum physics. Dissertation, LMU München: Faculty of Physics
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Abstract

The most general description of a quantum many-body system is given by a wave- function that lives in a Hilbert space with dimension exponential in the number of particles. This makes it extremely hard to study strongly correlated phenomena like the fractional quantum Hall effect and high-temperature superconductivity. Whenever interactions are sufficiently local and temperature is low, the system does not explore the full Hilbert space, but its ground state resides in the small corner of Hilbert space described by the area law. Containing little entanglement, the states can then be expressed as tensor networks, a family of wavefunctions with a polynomial number of parameters. On the one hand, tensor networks can be used as a variational manifold in nu- merical computations. On the other hand, they allow building model wavefunctions much like locality allows writing down physically realistic Hamiltonians. Besides allowing for an analytical treatment, these models grant access both to the physical and the entanglement degrees of freedom. This is particularly useful in classifying phases of matter. A large number of phases can be explained in terms of Landau’s symmetry-breaking paradigm. This framework, however, is not complete, as exemplified by the existence of phases with intrinsic topological order in two dimensions. It was a major conceptual advance when tensor networks could explain (non-chiral) topological phases as those where the symmetry resides in the entanglement degrees of freedom. The symmetries corresponding to those topological phases act as discrete, finite groups on the virtual degrees of freedom. The purpose of this Thesis is to generalize this program to include other symmetries. We investigate a class of tensor networks with continuous symmetries and find that they cannot describe gapped physics with a unique ground state. The abelian case is found to describe a non-Lorentz invariant phase transition point into a topologically ordered phase. The physics of the non- abelian case is that of a plaquette state that spontaneously breaks the translation symmetry of the lattice. The non-abelian PEPS arises as the ground state of a local parent Hamiltonian whose ground state manifold is completely characterized by the tensor network. In both cases, we find two types of corrections to the entanglement entropy: first there is a correction that is logarithmic in the size of the boundary and independent of the shape. A further correction depends only on the shape of the partition, imposing further restrictions on regions that are suffciently thin. Finally, we investigate symmetries that mix the virtual with the physical degrees of freedom and are furthermore anisotropic. Their physics is described by subsystem symmetry protected topological order. In particular, we focus on the entanglement entropy in the cluster phase and show that there is a universal constant correction to the entropy throughout the phase. This is important in the program of establishing the entanglement entropy as a detection mechanism for topologically ordered phases. We put forward a numerical algorithm to compute the correction and use it to discover a novel phase of matter in which the cluster phase is embedded.

Abstract

Die allgemeinste Beschreibung eines Quanten-Vielteilchensystems ergibt sich aus einer Wellenfunktion, die in einem Hilbert-Raum lebt, dessen Dimension exponentiell in der Anzahl der Teilchen ist. Dies macht es äußerst schwierig, stark korrelierte Phänomene wie den fraktionalen Quanten-Hall-Effekt und die Hochtemperatursupraleitung zu untersuchen. Wenn die Wechselwirkungen ausreichend lokal sind und die Temperatur niedrig ist, steht dem System nicht der gesamte Hilbert-Raum zur Verfügung. Sein Grundzustand befindet sich in der kleinen "Ecke" des Hilbert-Raums, die durch das area law beschrieben wird. Mit wenig Verschränkung können die Zustände dann als Tensornetzwerke ausgedrückt werden, eine Familie von Wellenfunktionen mit einer polynomiellen Anzahl von Parametern. Einerseits können Tensornetzwerke als variationelle Ansätze bei numerischen Berechnungen verwendet werden. Auf der anderen Seite ermöglichen sie das Erstellen von Modellwellenfunktionen. Diese Modelle ermöglichen nicht nur eine analytische Behandlung, sondern gewähren auch Zugang zu den physikalischen und den Verschränkungsfreiheitsgraden. Dies ist besonders nützlich bei der Klassifizierung von Phasen der Materie. Eine große Anzahl von Phasen kann mit Landaus Theorie der Symmetriebrechung erklärt werden. Diese Beschreibung ist jedoch nicht vollständig, was durch die Existenz von Phasen mit intrinsischer topologischer Ordnung in zwei Dimensionen veranschaulicht wird. Es war ein großer konzeptioneller Fortschritt, als Tensornetzwerke (nicht-chirale) topologische Phasen als solche identifizieren konnten, bei denen die Symmetrie in den Verschränkungsfreiheitsgraden liegt. Die diesen topologischen Phasen entsprechenden Symmetrien wirken als diskrete, endliche Gruppen auf den virtuellen Freiheitsgraden. Der Zweck dieser Arbeit ist es, dieses Programm auf andere Symmetrien zu verallgemeinern. Wir untersuchen eine Klasse von Tensornetzwerken mit kontinuierlichen Symmetrien und stellen fest, dass sie keine mit eindeutigen Grundzustand unter einer Energielücke beschreiben können. Der abelsche Fall beschreibt einen nicht-Lorentz-invarianten Phasenübergangspunkt in eine topologisch geordnete Phase. Die Physik des nicht-abelschen Falls ist die eines Plaquette-Zustands, der spontan die Translationssymmetrie des Gitters bricht. Der nicht-abelsche PEPS entsteht als Grundzustand eines lokalen \textit{parent}-Hamiltonians, dessen Grundzustandsunterraum vollständig durch das Tensornetzwerk beschrieben wird. In beiden Fällen finden wir zwei Arten von Korrekturen an der Verschränkungsentropie: Erstens gibt es eine Korrektur, die in der Größe der Grenze logarithmisch und unabhängig von der Form ist. Eine weitere Korrektur hängt nur von der Form des Schnitts ab ab, wodurch ausreichend dünne Bereiche weiter eingeschränkt werden. Schließlich untersuchen wir Symmetrien, die virtuelle und physikalische Freiheitsgraden mischen und darüber hinaus anisotrop sind. Ihre Physik wird durch topologische Ordnung beschrieben, die stabil ist solange bestimmte Subsystem-Symmetrien nicht gebrochen werden. Insbesondere konzentrieren wir uns auf die Verschränkungsentropie in der Clusterphase und zeigen, dass die Entropie in der gesamten Phase universell eine konstante Korrektur erhält. Dies ist wichtig im Programm zur Etablierung der Verschränkungsentropie als Detektionsmechanismus für topologisch geordnete Phasen. Wir schlagen einen numerischen Algorithmus vor, um die Korrektur zu berechnen und entdecken eine neue Phase der Materie, in die die Clusterphase eingebettet ist.