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Current algebra, generalised geometry and integrable models in string theory
Current algebra, generalised geometry and integrable models in string theory
Eine Konsequenz der ausgedehnten Natur des Strings ist, dass in der Stringtheorie allgemeinere Hintergrundgeometrien als (Riemannsche) Mannigfaltigkeiten möglich sind. Insbesondere bei Kartenwechseln sind nicht nur Diffeomorphismen (oder andere Eichtransformationen) erlaubt, sondern auch (String-)Dualitätstransformationen. Solche Räume werden auch nicht-geometrische Räume genannt. Ihre mathematische Formulierung basiert auf Hitchins und Gualtieris Verallgemeinerter Geometrie. In dieser Arbeit wird gezeigt, dass entgegen bisheriger Resulte in der Literatur die Poisson-Struktur, genauer die Stromalgebra, eines Strings nicht O(d,d)-invariant ist und deren korrekte Beschreibung so genannte para-Hermitesche Geometrie benötigt. Darauf aufbauend wird eine Hamiltonsche Formulierung von klassischer Stringtheorie in einem generischen, geometrischen oder nicht-geometrischen Hintergrund vorgeschlagen. Die Essenz dieser Formulierung ist eine Deformation der Stromalgebra, die durch die verallgemeinerten Flüsse, die einen solchen Hintergrund beschreiben, charakterisiert wird. Diese Formulierung ist allgemeiner als die durch eine Lagrangedichte, da zum Beispiel magnetisch geladene Hintegründe und solche, die die Sektionsbedingung der Verallgemeinerten Geometrie verletzen, hier auch diskutiert werden können – auf Kosten der Verletzung der Jacobi-Identität der Stromalgebra. Zwei Anwendungen dieser Formulierung werden diskutiert: Zum einen kann man aus der deformierten Stromalgebra direkt die nicht-kommutative und nicht-assoziative Interpretation der nicht-geometrischen Hintergründe abgelesen. Zum anderen können zweierlei Verallgemeinerungen von nicht-Abelscher T-Dualität über Poisson-Lie T-Dualität hinaus abgeleitet werden. Es existiert eine nicht-Abelsche T-Dualitätsgruppe, analog zu O(d,d) für Abelsche T-Dualität. Außerdem existieren Versionen von Poisson-Lie-Dualität für Modelle mit generischen konstanten Verallgemeinerten Flüssen. Eine Verallgemeinerung dieser Ergebnisse für M-branen in M-Theorie scheint möglich. Für eine M2-bran in M-Theorie in vier Dimensionen wird gezeigt, dass die Stromalgebra nicht dualitätsinvariant ist und genauso wie im Falle des Strings eine Lie-Klammer beinhaltet, die in einer para-Hermiteschen Version von exzeptioneller Verallgemeinerter Geometrie auftaucht. Im Unterschied zur Diskussion des Strings kann Kovarianz unter der Dualitätsgruppe, hier SL(5), nur durch die Einführung zusätzlicher Objekte, der Membranladungen, wiederhergestellt werden. Mit Hilfe der typischen doppelten dimensionalen Reduktion von M-Theorie zur Typ IIa Superstringtheorie kann man die M2-bran- und Stringströme miteinander in Beziehung setzen. Ein anderes zentrales Thema sind integrable Modelle im Kontext von Stringtheorie. In besonders symmetrischen Hintergründen, wie der Minkowski-Raumzeit oder bestimmten Anti-de Sitter-Kompaktifizierungen, ist Stringtheorie exakt lösbar (integrabel). Deformationen dieser Hintergründe, die die Integrabilität beibehalten, wurden in den letzten Jahren ausführlich untersucht. Es stellt sich heraus, dass viele diese Deformationen klare Entsprechungen in der Verallgemeinerten Geometrie haben. In dieser Arbeit wird gezeigt, dass eine große Klasse dieser Deformationen, die homogenen Yang-Baxter-Deformationen, nichts weiter sind als die beta-Transformationen der oben erwähnten nicht-Abelschen T-Dualitätsgruppe., One consequence of the extended nature of the string is that more general background geometries than Riemannian manifolds are possible in string theory. In particular, when gluing charts not only diffeomorphisms (or other gauge transformations of the background) but also (string) duality transformations are allowed. These geometries are called non-geometric spaces. Their mathematical formulation is based on Hitchin's and Gualtieri's generalised (or O(d,d)-)geometry. In this thesis it is shown that, despite previous results in the literature, the Poisson structure - to be more precise: the current algebra - of a string is not O(d,d)-invariant. Its correct treatment requires the so-called para-Hermitian geometry. Building on that, a Hamiltonian formulation of the classical world-sheet theory in a generic, geometric or non-geometric, background is proposed. The essence of this formulation is that the generalised fluxes, characterising such a background, describe a deformation of the current algebra. This formulation extends to backgrounds for which there is no Lagrangian description of the world-sheet theory - namely magnetically charged backgrounds and those that violate the section condition of generalised geometry, at the cost of violating the Jacobi identity of the current algebra. Two applications of this formulation are discussed. On the one hand, one can read off the non-commutative and non-associative interpretation directly from the deformed current algebra. On the other hand, one can derive two generalisations of non-abelian T-duality that go beyond the standard factorised Poisson-Lie T-duality. There is a non-abelian T-duality group, analogous to O(d,d) for abelian T-duality. Moreover, there are generalisations for Poisson-Lie T-duality for models with generic constant generalised fluxes. A generalisation of these results to M-branes in M-theory seems possible. For the membrane in M-theory compactified on a four-dimensional space, it is shown that the current algebra is not U-duality invariant. Exactly as for the string, a Lie bracket appears that is connected to para-Hermitian exceptional generalised geometry. In contrast to the string, even manifest covariance under the U-duality group, here SL(5), is only possible when introducing additional objects, the membrane charges. With the help of the typical double dimensional reduction from M-theory to type IIa superstring theory, one can relate the membrane and string currents. Another central topic of this thesis is integrability in context of string theory. In particularly symmetric backgrounds, like Minkowski spacetime or certain Anti-de Sitter compactifications, string theory is exactly solvable (integrable). Deformations of these backgrounds, that preserve integrability of the world-sheet theory, have been studied extensively in the last years. It turned out that many of these deformations can be described in terms of generalised geometry. In this thesis it is shown that a big class of these deformations, the homogeneous Yang-Baxter deformations, are nothing else than the beta-shifts of the non-abelian T-duality group mentioned above.
Not available
Osten, David
2020
English
Universitätsbibliothek der Ludwig-Maximilians-Universität München
Osten, David (2020): Current algebra, generalised geometry and integrable models in string theory. Dissertation, LMU München: Faculty of Physics
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Licence: Creative Commons: Attribution 4.0 (CC-BY)
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Abstract

Eine Konsequenz der ausgedehnten Natur des Strings ist, dass in der Stringtheorie allgemeinere Hintergrundgeometrien als (Riemannsche) Mannigfaltigkeiten möglich sind. Insbesondere bei Kartenwechseln sind nicht nur Diffeomorphismen (oder andere Eichtransformationen) erlaubt, sondern auch (String-)Dualitätstransformationen. Solche Räume werden auch nicht-geometrische Räume genannt. Ihre mathematische Formulierung basiert auf Hitchins und Gualtieris Verallgemeinerter Geometrie. In dieser Arbeit wird gezeigt, dass entgegen bisheriger Resulte in der Literatur die Poisson-Struktur, genauer die Stromalgebra, eines Strings nicht O(d,d)-invariant ist und deren korrekte Beschreibung so genannte para-Hermitesche Geometrie benötigt. Darauf aufbauend wird eine Hamiltonsche Formulierung von klassischer Stringtheorie in einem generischen, geometrischen oder nicht-geometrischen Hintergrund vorgeschlagen. Die Essenz dieser Formulierung ist eine Deformation der Stromalgebra, die durch die verallgemeinerten Flüsse, die einen solchen Hintergrund beschreiben, charakterisiert wird. Diese Formulierung ist allgemeiner als die durch eine Lagrangedichte, da zum Beispiel magnetisch geladene Hintegründe und solche, die die Sektionsbedingung der Verallgemeinerten Geometrie verletzen, hier auch diskutiert werden können – auf Kosten der Verletzung der Jacobi-Identität der Stromalgebra. Zwei Anwendungen dieser Formulierung werden diskutiert: Zum einen kann man aus der deformierten Stromalgebra direkt die nicht-kommutative und nicht-assoziative Interpretation der nicht-geometrischen Hintergründe abgelesen. Zum anderen können zweierlei Verallgemeinerungen von nicht-Abelscher T-Dualität über Poisson-Lie T-Dualität hinaus abgeleitet werden. Es existiert eine nicht-Abelsche T-Dualitätsgruppe, analog zu O(d,d) für Abelsche T-Dualität. Außerdem existieren Versionen von Poisson-Lie-Dualität für Modelle mit generischen konstanten Verallgemeinerten Flüssen. Eine Verallgemeinerung dieser Ergebnisse für M-branen in M-Theorie scheint möglich. Für eine M2-bran in M-Theorie in vier Dimensionen wird gezeigt, dass die Stromalgebra nicht dualitätsinvariant ist und genauso wie im Falle des Strings eine Lie-Klammer beinhaltet, die in einer para-Hermiteschen Version von exzeptioneller Verallgemeinerter Geometrie auftaucht. Im Unterschied zur Diskussion des Strings kann Kovarianz unter der Dualitätsgruppe, hier SL(5), nur durch die Einführung zusätzlicher Objekte, der Membranladungen, wiederhergestellt werden. Mit Hilfe der typischen doppelten dimensionalen Reduktion von M-Theorie zur Typ IIa Superstringtheorie kann man die M2-bran- und Stringströme miteinander in Beziehung setzen. Ein anderes zentrales Thema sind integrable Modelle im Kontext von Stringtheorie. In besonders symmetrischen Hintergründen, wie der Minkowski-Raumzeit oder bestimmten Anti-de Sitter-Kompaktifizierungen, ist Stringtheorie exakt lösbar (integrabel). Deformationen dieser Hintergründe, die die Integrabilität beibehalten, wurden in den letzten Jahren ausführlich untersucht. Es stellt sich heraus, dass viele diese Deformationen klare Entsprechungen in der Verallgemeinerten Geometrie haben. In dieser Arbeit wird gezeigt, dass eine große Klasse dieser Deformationen, die homogenen Yang-Baxter-Deformationen, nichts weiter sind als die beta-Transformationen der oben erwähnten nicht-Abelschen T-Dualitätsgruppe.

Abstract

One consequence of the extended nature of the string is that more general background geometries than Riemannian manifolds are possible in string theory. In particular, when gluing charts not only diffeomorphisms (or other gauge transformations of the background) but also (string) duality transformations are allowed. These geometries are called non-geometric spaces. Their mathematical formulation is based on Hitchin's and Gualtieri's generalised (or O(d,d)-)geometry. In this thesis it is shown that, despite previous results in the literature, the Poisson structure - to be more precise: the current algebra - of a string is not O(d,d)-invariant. Its correct treatment requires the so-called para-Hermitian geometry. Building on that, a Hamiltonian formulation of the classical world-sheet theory in a generic, geometric or non-geometric, background is proposed. The essence of this formulation is that the generalised fluxes, characterising such a background, describe a deformation of the current algebra. This formulation extends to backgrounds for which there is no Lagrangian description of the world-sheet theory - namely magnetically charged backgrounds and those that violate the section condition of generalised geometry, at the cost of violating the Jacobi identity of the current algebra. Two applications of this formulation are discussed. On the one hand, one can read off the non-commutative and non-associative interpretation directly from the deformed current algebra. On the other hand, one can derive two generalisations of non-abelian T-duality that go beyond the standard factorised Poisson-Lie T-duality. There is a non-abelian T-duality group, analogous to O(d,d) for abelian T-duality. Moreover, there are generalisations for Poisson-Lie T-duality for models with generic constant generalised fluxes. A generalisation of these results to M-branes in M-theory seems possible. For the membrane in M-theory compactified on a four-dimensional space, it is shown that the current algebra is not U-duality invariant. Exactly as for the string, a Lie bracket appears that is connected to para-Hermitian exceptional generalised geometry. In contrast to the string, even manifest covariance under the U-duality group, here SL(5), is only possible when introducing additional objects, the membrane charges. With the help of the typical double dimensional reduction from M-theory to type IIa superstring theory, one can relate the membrane and string currents. Another central topic of this thesis is integrability in context of string theory. In particularly symmetric backgrounds, like Minkowski spacetime or certain Anti-de Sitter compactifications, string theory is exactly solvable (integrable). Deformations of these backgrounds, that preserve integrability of the world-sheet theory, have been studied extensively in the last years. It turned out that many of these deformations can be described in terms of generalised geometry. In this thesis it is shown that a big class of these deformations, the homogeneous Yang-Baxter deformations, are nothing else than the beta-shifts of the non-abelian T-duality group mentioned above.