Blow-up analysis for focusing many-body quantum systems

Nguyen, Dinh-Thi (2020): Blow-up analysis for focusing many-body quantum systems. Dissertation, LMU München: Fakultät für Mathematik, Informatik und Statistik

Abstract

In dieser Dissertation wird die Bildung von Singularitäten in fokussierenden quantenmechanischen Vielteilchensystemen untersucht. Insbesondere wird das Verhalten der Grundzustandsenergie und der zugehörigen Grundzustände solcher Systeme analysiert, wenn diese sich dabei befinden, zu kollabieren. Artikel A und B sind der Untersuchung von Neutronensternen gewidmet, welche klassische Beispiele für fokussierende, fermionische Vielteilchensysteme sind. Bekanntlich kollabieren Neutronensterne, wenn ihre Masse die sogenannte kritische Chandrasekhar-Masse übersteigt. Mathematisch besteht der Kollaps des Sterns darin, dass die Grundzustandsenergie gleich minus Unendlich ist. Hier wird der Vorgang des Kollapses im Rahmen zweier Näherungsmodelle genauer untersucht, nämlich der Chandrasekhar-Theorie und der Hartree--Fock--Bogoliubov-Theorie. Wir analysieren das asymptotische Verhalten der Energie im massenkritischen Limes und zeigen, dass ein universelles Singularitätenprofil auftritt, welches eine Lösung der Lane--Emden-Gleichung ist. Artikel C und D behandeln Bosonensterne. Obwohl die Existenz solcher Sterne derzeit nicht durch astronomische Beobachtungen belegt ist, stellen sie für die Kosmologie und die mathematische Physik ein interessantes Studienmodell dar. Ähnlich wie Neutronensterne kollabieren Bosonensterne bei genügend großer Masse. Wir untersuchen das Kollaps-Phänomen im Rahmen zweier Modelle, nämlich der Hartree-Theorie und der vollständigen Vielteilchentheorie. Bei letzterer ist es nötig, ein externes Potential einzuführen, um die Existenz eines Grundzustandes zu garantieren. Im massenkritischen Limes zeigen wir, dass Kondensation der Grundzustände auf die Menge der optimierenden Funktionen einer nicht-lokalen Interpolationsungleichung auftritt. Artikel E befasst sich mit Kondensatgemischen aus Bosegasen im Rahmen der vollständigen quantenmechanischen Vielteilchentheorie. Wir betrachten die Grundzustandsenergie eines nicht-relativistischen, bosonischen fokussierenden Vielteilchensystems, welches aus zwei verschiedenen Teilchenspezies besteht, die sich jeweils in einem lokalisierenden Potential befinden. Die Wechselwirkung der Teilchen innerhalb derselben Spezies ist dabei attraktiv, wohingegen die Wechselwirkung zwischen den verschiedenen Spezies attraktiv oder repulsiv sein kann. Im Grenzwert, der den Kollaps beschreibt, zeigen wir, dass die Grundzustände Bose--Einstein-Kondensation aufweisen und, bis auf Reskalierung, zu dem Optimierer der Gagliardo--Nirenberg-Interpolationsungleichung konvergieren.

Abstract

This thesis is focused on the blow-up analysis for focusing many-body quantum systems. The central object of study is the behavior of the ground state energies and ground states in the collapse regime. Papers A and B are concerned with neutron stars which are classic examples of focusing fermionic many-body systems. It is a fundamental fact that neutron stars collapse as soon as their masses exceed the so-called Chandrasekhar limit mass. Mathematically, the collapse corresponds to the unboundedness from below of the ground state energy. Here we study the details of the collapse in two approximate models: the Chandrasekhar theory and the Hartree--Fock--Bogoliubov theory. We investigate the asymptotic behavior of the energy in the mass critical limit and prove that the ground states develop a universal blow-up profile which solves the Lane--Emden equation. Papers C and D treat boson stars. Until now, there is no observational evidence that such stars exist. Nevertheless, they are interesting objects in astronomy and mathematics. Similarly to neutron stars, boson stars collapse when their masses are too big. We will study the collapse phenomenon in two models: the Hartree theory and the full many-body theory. For the latter, we have to include an external potential to guarantee the existence of ground states. In the mass critical limit, we show that the ground states condensate on the optimizers of a non-local interpolation inequality. Paper E deals with the mixture condensate of Bose gases in the full many-body quantum theory. We consider the ground state energy of a confined, non-relativistic bosonic many-body system consisting of two species in the focusing regime and assume attractive intra-species and either attractive or repulsive inter-species interactions between the particles. In the collapse regime, we show that the ground states exhibit the Bose--Einstein condensation and, up to rescaling, converge to the optimizer of the Gagliardo--Nirenberg interpolation inequality.

• Dokumententyp: Dissertationen (Dissertation, LMU München)
• Themengebiete: 500 Naturwissenschaften und Mathematik ; 500 Naturwissenschaften und Mathematik > 510 Mathematik
• Fakultäten: Fakultät für Mathematik, Informatik und Statistik
• Sprache der Hochschulschrift: Englisch
• Datum der mündlichen Prüfung: 27. Juli 2020
• 1. Bericht­erstatter:in: Phan, Thanh