Localization

Beck, Christian (2020): Localization: local quantum measurement and relativity. Dissertation, LMU München: Fakultät für Mathematik, Informatik und Statistik

Abstract

This work treats various aspects of the quantum theory of measurement, partially in a relativistic framework. As a basis, measurement (like) processes are defined and carefully analysed within the framework of non relativistic quantum mechanics, without postulating operators as observables. Thereby, the quantum measurement formalism is derived in full generality - including the representation of quantum probabilities by positive operator valued measures (POVM's) or the Kraus representation of the related state transformations. This approach and the worked out tools will then be used to formulate and analyse certain problems concerning local measurements in relativistic quantum theory. First, without fixing a particular relativistic quantum theory, the compatibility of the probabilities of quantum measurement formalism for composite, spacelike separated quantum measurements with the (specially) relativistic structure of space-time is examined. In particular, the relations between (i) Lorentz frame independence of outcomes of such measurements (relativistic consistency), (ii) the impossibility to send signals faster than light by means of quantum measurement (no signalling) and (iii) mathematical commutativity properties of certain operators associated with spacelike separated quantum measurements (local commutativity), are analysed and several results revealing these connections are presented. Next, the so called localization problem of relativistic quantum theory is studied. For this purpose, a mathematical framework is developed which entails a variety of strong results relevant for local quantum measurements. Besides encountering some special properties of positive energy wave functions in any relativistic quantum theory (e.g. their strong nonlocal sensitivity with respect to local perturbations) this includes a coherent and comprehensive account of several celebrated theorems such as Hegerfeldt's theorem, Malament's theorem and generalizations thereof or the Reeh-Schlieder theorem and its implications. These assertions are formulated in purely operational terms, e.g. in terms of detector click statistics, to highlight their operational meaning (in contrast to a sometimes alleged ontological meaning). Initially counterintuitive features of these theorems are considered, in particular that under their more or less mild assumptions, detector click probabilities do generically never perfectly vanish (e.g. a positive detector response cannot be excluded even if the initial state was the vacuum, as well as joint detector clicks of remote detectors at spacelike separation even if the initial state belongs to a single particle). A natural understanding is provided by reconsidering the role of the positive energy assumption (spectrum condition) with respect to infinite wave function tails, locally caused transformations of wave functions and pair creation phenomena in quantum field theory. Finally with Bohmian mechanics a theory about real particles moving in space is presented and from a dynamical and statistical analysis of Bohmian subsystems, the operational quantum measurement formalism is derived for measurement (like) situations. Relativistic versions of Bohmian mechanics incorporating Lorentz invariance and generalizations to Bohmian quantum field theory are reviewed and the localization problem is discussed from a Bohmian perspective.

Abstract

Die Arbeit behandelt verschiedene Aspekte der Quantentheorie des Messprozesses, zum Teil in relativistischen Zusammenhängen. Als Grundlage werden Mess(-artige-)prozesse definiert und ausführlich untersucht, wobei darauf verzichtet wird, Operatoren als Observablen zu postulieren. Der Quanten-Messformalismus wird dabei in seiner allgemeinsten Form abgeleitet, inklusive der Kodierung der entsprechenden Wahrscheinlichkeiten durch positiv-operatorwertige Maße (POVMs) und der Kraus Darstellung der entsprechenden Zustandstransformationen. Dieser Zugang und die erarbeiteten Werkzeuge finden im Folgenden Verwendung, um bestimmte Probleme der Beschreibung lokaler Messungen in der relativistischen Quantenmechanik zu formulieren und zu analysieren. Ohne eine konkrete relativistische Quantentheorie zu spezifizieren, wird zunächst die Vereinbarkeit des Quanten-Messformalismus zur Beschreibung raumartig getrennter Messungen mit der (speziell) relativistischen Raumzeit-Struktur untersucht. Im Besonderen werden Zusammenhänge zwischen (i) der Unabhängigkeit von Messresultaten vom Lorentz-Bezugssystem (relativistische Konsistenz), (ii) der Unmöglichkeit, überlichtschnelle Signale zu senden (no signalling), und (iii) mathematischen Kommutativitätseigenschaften bestimmter Operatoren, die raumartig getrennten Messungen zugeordnet sind (lokale Kommutativität), analysiert und einige Resultate, die diese Beziehungen aufzeigen, werden dargelegt. Als nächstes wird das Lokalisierungsproblem der relativistischen Quantenmechanik untersucht. Zu diesem Zwecke wird zunächst ein mathematischer Rahmen entwickelt, aus dem sich eine Reihe starker Resultate für die Beschreibung lokaler Messungen ergeben. Neben einigen sehr speziellen Eigenschaften von Wellenfunktionen positiver Energie in jeder relativistischen Quantentheorie (z.B. ihre starke nichtlokale Sensitivität bezüglich lokaler Störungen) beinhaltet dies eine einheitliche und umfassende Darstellung einiger berühmt gewordener Theoreme, wie Hegerfelds Theorem, Malaments Theorem und seiner Verallgemeinerungen oder dem Reeh-Schlieder Theorem und seiner Implikationen. Diese Resultate werden rein operationalistisch formuliert, z.B. bezogen auf die Statistik von Detektor-Klicks, um ihre operationalistische Bedeutung darzulegen (im Gegensatz zu einer manchmal behaupteten ontologischen Bedeutung). Zunächst kontraintuitive Aspekte dieser Theoreme werden genauer betrachtet, im Besonderen die Tatsache, dass unter ihren mehr oder weniger weichen Annahmen Detektor-Klick Wahrscheinlichkeiten grundsätzlich nie perfekt verschwinden können (z.B. ein positiver Ausgang eines Detektorexperiments kann nicht ausgeschlossen werden, selbst wenn der Anfangszustand das Vakuum ist, ebenso wie raumartig getrennte Klicks entfernter Detektoren, selbst wenn der Anfangszustand ein einzelnes Teilchen beschreibt). Diese Vorhersagen lassen sich in natürlicher Weise verstehen, wenn die grundlegende Annahme positiver Energie (Spektrumsbedingung) bezüglich ihrer Rolle für unendliche `Schwänze' (tails) entsprechender Wellenfunktionen, lokal verursachter Transformationen von Wellenfunktionen und Paarerzeugungseffekten in der Quantenfeldtheorie in die Betrachtungen einbezogen wird. Letztlich wird mit Bohmscher Mechanik eine Theorie über reelle Teilchen, die sich im Raum bewegen, dargestellt und aus einer dynamischen und statistischen Analyse Bohmscher Subsysteme der operationalistische Quanten-Messformalismus für Mess(-artige) Situationen abgeleitet. Relativistische Versionen der Bohmschen Mechanik bezüglich Lorentzinvarianz und Verallgemeinerungen zu Bohmscher Quantenfeldtheorie werden besprochen und das Lokalisierungsproblem aus Bohmscher Sicht diskutiert.

• Dokumententyp: Dissertationen (Dissertation, LMU München)
• Keywords: Quantum Measurement, Operational Quantum Theory, Measurement Problem, Quantum Nonlocality, Bell's Theorem, No Signalling, Local Commutativity, Localization Problem, Hegerfeldt Theorem, Malament Theorem, Reeh-Schlieder Theorem, Newton-Wigner Localization, Infinite Wave Function Tails, Pair Creation, Bohmian Mechanics
• Themengebiete: 500 Naturwissenschaften und Mathematik ; 500 Naturwissenschaften und Mathematik > 510 Mathematik
• Fakultäten: Fakultät für Mathematik, Informatik und Statistik
• Sprache der Hochschulschrift: Englisch
• Datum der mündlichen Prüfung: 13. Februar 2020
• 1. Bericht­erstatter:in: Dürr, Detlef