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On the excess charge problem in relativistic quantum mechanics
On the excess charge problem in relativistic quantum mechanics
Wir untersuchen wie viele Elektronen ein Atom der Kernladungszahl Z binden kann. Dieses ist ein klassisches Problem der mathematischen Physik. Experimentell ist die Überschussladung Q:=N−Z höchstens Eins. Ziel dieser Arbeit ist es, eine obere Schranke mathematisch für realistische Modelle großer Atome (Z groß) herzuleiten. Für große Z sind relativistische Modelle wesentlich. Wir untersuchen zwei Modelle. Das erste Modell wurde von Brown und Ravenhall vorgeschlagen. Während nichtrelativistische Modelle detailliert untersucht wurden, ist im Brown-Ravenhall-Modell nicht einmal klar, dass Q beschränkt ist. Um eine solche Schranke zu gewinnen, folgen wir eine Strategie von Benguria. Wir integrieren die Euler-Lagrange-Gleichung gegen das Moment |x|, was in der nichtrelativistischen Quantenmechanik erfolgreich angewendet wurde. Der Hauptunterschied liegt im Coulomb-Potential-Term. In der Schrödinger-Theorie ist |x|Z/|x| konstant. Aber in unserem Fall ist der entsprechende Term lambda+|x|lambda+Z/|x|lambda+, was keine Konstante mehr ist. Dabei bezeichnet lambda+ die Projektion auf den positiven Spektralraum von D0. Unser erstes Hauptergebnis ist, eine obere Schranke an dieses Operators. Im masselosen Fall zeigen wir sowohl eine positive obere als auch eine positive untere Schranke. Im massiven Fall zeigen wir die Existenz der positiven oberen Schranke. Im zweiten Teil haben wir Schranken an Q sowohl in der zeitabhängigen nichtrelativistischen Thomas-Fermi-Weizsäcker-Theorie, der zeitabhängigen relativistischen Thomas-Fermi-Theorie als auch in der zeitunabhängigen relativistischen Thomas-Fermi-Weizsäcker-Theorie hergeleitet und bewiesen. Das Thomas-Fermi-Funktional ist ein approximatives Energiefunktional, das von der Teilchendichte rho abhängt. Der Weizsäcker-Term ist die führende Korrektur zur Thomas-Fermi-Theorie. In der nichtrelativistischen TFW-Theorie wurde die Ionisierungsvermutung von Benguria und Lieb bewiesen. Wir zeigen zunächst, dass auch im relativistischen Fall die Energie nach unten beschränkt ist. Mithilfe diese Resultats zeigen wir die Existenz eines Minimierers und damit die Existenz einer Lösung, wenn N inreichend klein ist. Um eine Schranke an Q zu gewinnen, verwenden wir dieselbe Idee wie im ersten Teil. Wir integrieren die Euler-Lagrange-Gleichung gegen das |x| multipliziert mit einer Funktion der Dichte. In diesem Fall ist die Anzahl der Elektronen N kleiner als CZ, wo C ungefähr 2,56 ist., We investigate how many electrons an atom of atomic number Z can bind. This is a classic problem of mathematical physics. Experimentally, the excess charge Q:=N−Z is at most one. The aim of this work is to derive an upper bound mathematically for realistic models of large atoms (Z large). For large Z, relativistic models are essential. We investigate two models. The first model was proposed by Brown and Ravenhall. While non-relativistic models have been studied in detail, it is not even clear in the Brown-Ravenhall model whether Q is bounded. To gain such a bound, we follow a strategy by Benguria. We integrate the Euler-Lagrange equation against the moment |x|, which has been successfully applied in non-relativistic quantum mechanics. The main difference lies in the Coulomb potential term. In the Schrödinger theory, |x|Z/|x| is a constant. But in our case the corresponding term is lambda+|x|lambda+Z/|x|lambda+, which is no longer a constant. Where lambda+ denotes the projection onto the positive spectral subspace of D0. Our first major result is an upper bound of this operator. In the massless case, we show that there is both positive lower and upper bounds. In the massive case, we show the existence of the positive upper bound. In the second part, we have derived and proved the bounds of Q in both the timedependent non-relativistic Thomas-Fermi-Weizsäcker theory and the time-dependent relativistic Thomas-Fermi theory as well as in the relativistic time-independent Thomas-Fermi-Weizsäcker theory. The Thomas-Fermi functional is an approximate energy functional that depends on particle density rho. The Weizsäcker term is the leading correction to the Thomas-Fermi theory. In the non-relativistic TFW theory, the ionization conjecture was proved by Benguria and Lieb. We first show that in the relativistic case the energy is bounded from below. Using this result, we show the existence of a minimizer and thus the existence of a solution when N is sufficiently small. To gain a bound on Q, we use the same idea as in the first part. We integrate the Euler-Lagrange equation against the moment |x| multiplied by a function of density. In this case, the number of electrons N is smaller than CZ, where C is about 2.56.
excess charge, Brown-Ravenhall operator, Thomas-Fermi-Weizsäcker theory
Chen, Hongshuo
2019
English
Universitätsbibliothek der Ludwig-Maximilians-Universität München
Chen, Hongshuo (2019): On the excess charge problem in relativistic quantum mechanics. Dissertation, LMU München: Faculty of Mathematics, Computer Science and Statistics
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Abstract

Wir untersuchen wie viele Elektronen ein Atom der Kernladungszahl Z binden kann. Dieses ist ein klassisches Problem der mathematischen Physik. Experimentell ist die Überschussladung Q:=N−Z höchstens Eins. Ziel dieser Arbeit ist es, eine obere Schranke mathematisch für realistische Modelle großer Atome (Z groß) herzuleiten. Für große Z sind relativistische Modelle wesentlich. Wir untersuchen zwei Modelle. Das erste Modell wurde von Brown und Ravenhall vorgeschlagen. Während nichtrelativistische Modelle detailliert untersucht wurden, ist im Brown-Ravenhall-Modell nicht einmal klar, dass Q beschränkt ist. Um eine solche Schranke zu gewinnen, folgen wir eine Strategie von Benguria. Wir integrieren die Euler-Lagrange-Gleichung gegen das Moment |x|, was in der nichtrelativistischen Quantenmechanik erfolgreich angewendet wurde. Der Hauptunterschied liegt im Coulomb-Potential-Term. In der Schrödinger-Theorie ist |x|Z/|x| konstant. Aber in unserem Fall ist der entsprechende Term lambda+|x|lambda+Z/|x|lambda+, was keine Konstante mehr ist. Dabei bezeichnet lambda+ die Projektion auf den positiven Spektralraum von D0. Unser erstes Hauptergebnis ist, eine obere Schranke an dieses Operators. Im masselosen Fall zeigen wir sowohl eine positive obere als auch eine positive untere Schranke. Im massiven Fall zeigen wir die Existenz der positiven oberen Schranke. Im zweiten Teil haben wir Schranken an Q sowohl in der zeitabhängigen nichtrelativistischen Thomas-Fermi-Weizsäcker-Theorie, der zeitabhängigen relativistischen Thomas-Fermi-Theorie als auch in der zeitunabhängigen relativistischen Thomas-Fermi-Weizsäcker-Theorie hergeleitet und bewiesen. Das Thomas-Fermi-Funktional ist ein approximatives Energiefunktional, das von der Teilchendichte rho abhängt. Der Weizsäcker-Term ist die führende Korrektur zur Thomas-Fermi-Theorie. In der nichtrelativistischen TFW-Theorie wurde die Ionisierungsvermutung von Benguria und Lieb bewiesen. Wir zeigen zunächst, dass auch im relativistischen Fall die Energie nach unten beschränkt ist. Mithilfe diese Resultats zeigen wir die Existenz eines Minimierers und damit die Existenz einer Lösung, wenn N inreichend klein ist. Um eine Schranke an Q zu gewinnen, verwenden wir dieselbe Idee wie im ersten Teil. Wir integrieren die Euler-Lagrange-Gleichung gegen das |x| multipliziert mit einer Funktion der Dichte. In diesem Fall ist die Anzahl der Elektronen N kleiner als CZ, wo C ungefähr 2,56 ist.

Abstract

We investigate how many electrons an atom of atomic number Z can bind. This is a classic problem of mathematical physics. Experimentally, the excess charge Q:=N−Z is at most one. The aim of this work is to derive an upper bound mathematically for realistic models of large atoms (Z large). For large Z, relativistic models are essential. We investigate two models. The first model was proposed by Brown and Ravenhall. While non-relativistic models have been studied in detail, it is not even clear in the Brown-Ravenhall model whether Q is bounded. To gain such a bound, we follow a strategy by Benguria. We integrate the Euler-Lagrange equation against the moment |x|, which has been successfully applied in non-relativistic quantum mechanics. The main difference lies in the Coulomb potential term. In the Schrödinger theory, |x|Z/|x| is a constant. But in our case the corresponding term is lambda+|x|lambda+Z/|x|lambda+, which is no longer a constant. Where lambda+ denotes the projection onto the positive spectral subspace of D0. Our first major result is an upper bound of this operator. In the massless case, we show that there is both positive lower and upper bounds. In the massive case, we show the existence of the positive upper bound. In the second part, we have derived and proved the bounds of Q in both the timedependent non-relativistic Thomas-Fermi-Weizsäcker theory and the time-dependent relativistic Thomas-Fermi theory as well as in the relativistic time-independent Thomas-Fermi-Weizsäcker theory. The Thomas-Fermi functional is an approximate energy functional that depends on particle density rho. The Weizsäcker term is the leading correction to the Thomas-Fermi theory. In the non-relativistic TFW theory, the ionization conjecture was proved by Benguria and Lieb. We first show that in the relativistic case the energy is bounded from below. Using this result, we show the existence of a minimizer and thus the existence of a solution when N is sufficiently small. To gain a bound on Q, we use the same idea as in the first part. We integrate the Euler-Lagrange equation against the moment |x| multiplied by a function of density. In this case, the number of electrons N is smaller than CZ, where C is about 2.56.