Über die Grundzustandsdichte relativistischer Coulomb-Systeme

Merz, Konstantin (2019): Über die Grundzustandsdichte relativistischer Coulomb-Systeme. Dissertation, LMU München: Fakultät für Mathematik, Informatik und Statistik

Abstract

Diese Dissertation widmet sich den Eigenschaften von Grundzuständen großer, relativistischer Coulomb-Systeme. Ein Beispiel für ein solches System ist ein neutrales Atom. Diese können durch relativistische Vielteilchen-Hamilton-Operatoren beschrieben werden, wie zum Beispiel den Chandrasekhar- oder projizierten Coulomb-Dirac-Operatoren. Atome mit hoher Kernladungszahl weisen zwei besonders interessante Längenskalen auf, die Thomas-Fermi- und die Scott-Längenskala. Auf Ersterer befindet sich der Großteil der Elektronen, die zur führenden Ordnung der Grundzustandsenergie im Grenzwert großer Teilchenzahlen beitragen. Elektronen, die sich auf der Scott-Skala befinden, sind sehr nahe am Kern lokalisiert und verursachen Quantenkorrekturen der Grundzustandsenergie. Wegen des Heisenbergschen Unschärfeprinzips muss davon ausgegangen werden, dass die Geschwindigkeit dieser Elektronen ein wesentlicher Bruchteil der Lichtgeschwindigkeit ist und die Quantenkorrekturen daher zusätzlich relativistisch korrigiert werden. Das Ziel dieser Arbeit ist das Studium der Einteilchendichte eines Grundzustands auf diesen beiden Längenskalen im Grenzwert großer Teilchenzahlen. Auf der Thomas-Fermi-Längenskala zeigen wir, dass die reskalierte Einteilchendichte eines Grundzustands gegen die wasserstoffartige Thomas-Fermi-Dichte konvergiert. Wir zeigen zuerst schwache Konvergenz in den semiklassischen $L^p$-R\"aumen für den Chandrasekhar- und den Brown--Ravenhall-Operator. In einer gemeinsamen Arbeit mit Heinz Siedentop [125] beweisen wir außerdem die Konvergenz der Dichte in der Coulomb-Norm für den Chandrasekhar-, den Brown-Ravenhall- und den Furry-Operator. Diese Ergebnisse zeigen, dass sich der Hauptteil der Elektronen eines relativistisch beschriebenen Atoms dennoch nicht-relativistisch verhält. Auf der Scott-Skala beweisen wir, basierend auf einer Zusammenarbeit mit Rupert L. Frank, Heinz Siedentop und Barry Simon, dass die reskalierte Einteilchendichte eines Grundzustands des Chandrasekhar-Operators schwach gegen die Summe der Quadrate der Eigenfunktionen des entsprechenden Einteilchen-Wasserstoff-Operators konvergiert. Die Konvergenz gilt sowohl für die gesamte Dichte als auch in jedem festen Drehimpulskanal. Die Klasse der erlaubten Test-Funktionen, für die diese Konvergenzen gelten, beinhaltet kompakt getragene Funktionen, die integrierbar oder durch ein Vielfaches des Coulomb-Potentials beschränkt sind. Dies bestätigt die von Lieb [115] geäußerte, sogenannte starke Scott-Vermutung für relativistische Coulomb-Systeme und zeigt insbesondere, dass kernnahe Elektronen relativistische Korrekturen erzeugen. Als Nebenprodukt erhalten wir außerdem eine punktweise obere Schranke an die relativistische Wasserstoff-Dichte, welche im Einklang mit dem asymptotischen Verhalten der nicht-relativistischen Wasserstoff-Dichte für große Abstände zum Kern steht. Im Anschluß illustrieren wir, wie diese Ergebnisse auf den Furry-Operator verallgemeinert werden können. Ein wichtiges Werkzeug für den Beweis der starken Scott-Vermutung basiert auf einer Zusammenarbeit mit Rupert L. Frank und Heinz Siedentop [66]. Wir betrachten den fraktionalen Laplace-Operator mit Hardy-Potential und kritischer oder subkritischer Kopplungskonstante. Es wird gezeigt, dass die $L^2$-Normen, die durch Potenzen dieses Operators erzeugt werden, zu den $L^2$-Normen, die durch Potenzen des fraktionalen Laplace-Operators erzeugt werden, äquivalent sind. Darüberhinaus erhalten wir verallgemeinerte und umgekehrte Hardy-Ungleichungen. Eine Verallgemeinerung auf $L^p$ ist m\"oglich, wenn ein Mikhlin-Multiplikator-Satz für den verallgemeinerten Hardy-Operator bewiesen werden kann, was bisher nur für positive Kopplungskonstanten gelungen ist. Dies ist eine Verallgemeinerung des Ergebnisses für den gewöhnlichen, nicht-fraktionalen Hardy-Operator von Killip u. a. [102].

Abstract

This dissertation is dedicated to the study of properties of large relativistic Coulomb systems, a neutral atom being one particular example. Such systems can be described by relativistic many-particle quantum Hamiltonians such as the Chandrasekhar or projected Coulomb-Dirac operators. Heavy atoms possess two very interesting length scales, namely the Thomas-Fermi and the Scott length scale. The bulk of the electrons contributing to the leading order of the ground state energy in the limit of large particle numbers is located on the former length scale and is described semiclassically. Electrons on the Scott length scale are localized very close to the nucleus and generate quantum corrections to the ground state energy. By Heisenberg's uncertainty principle, the innermost electrons' velocities are a substantial fraction of the velocity of light. Consequently, a relativistic description is mandatory. The aim of this thesis is to give new insights on properties of the one-particle ground state density on these two length scales in the limit of large particle numbers. Our first result shows that the rescaled one-particle density of a ground state on the Thomas--Fermi length scale converges to the hydrogenic Thomas-Fermi density. We show that the density converges weakly in the semiclassical $L^p$ spaces for the Chandrasekhar and the Brown-Ravenhall operator. Moreover, based on a joint work with Heinz Siedentop [125], we prove that the density also converges in Coulomb norm for the Chandrasekhar, the Brown-Ravenhall, and the Furry operator. These results show that the bulk of the electrons in a relativistically described system in fact still behaves non-relativistically. Based on a joint work with Rupert L. Frank, Heinz Siedentop, and Barry Simon, we prove that the rescaled one-particle density of a ground state of the Chandrasekhar operator on the Scott length scale converges weakly to the sum of the squares of the eigenfunctions of the corresponding one-particle operator. In particular, we show convergence in each fixed angular momentum channel and convergence of the total density. The class of test functions for which this weak convergence holds contains in particular compactly supported functions that are integrable or bounded by a multiple of the Coulomb potential. This proves Lieb's so-called strong Scott conjecture [115] for relativistic Coulomb systems and shows in particular that relativistic effects occur close to the nucleus. As a byproduct we obtain a pointwise upper bound on the relativistic hydrogenic density which is in accordance with the asymptotic behavior of the non-relativistic hydrogenic density for large distances to the nucleus. Afterwards, we generalize these results to the Furry operator. One crucial tool for the proof of the strong Scott conjecture is established in a joint work with Rupert L. Frank and Heinz Siedentop [66]. We consider the fractional Laplace operator with Hardy potential and critical or subcritical coupling constant. We show that the $L^2$ norms that are generated by powers of this operator are equivalent to the norms generated by powers of the fractional Laplacian. Moreover, we derive generalized and reversed Hardy inequalities for this generalized Hardy operator. A generalization of these results to $L^p$ is possible if a Mikhlin multiplier theorem associated to this operator can be proven. So far, this was only feasible if the coupling constant is positive. This is a generalization of the result concerning the ordinary, non-fractional Hardy operator, obtained by Killip et al [102].

• Dokumententyp: Dissertationen (Dissertation, LMU München)
• Themengebiete: 500 Naturwissenschaften und Mathematik ; 500 Naturwissenschaften und Mathematik > 510 Mathematik
• Fakultäten: Fakultät für Mathematik, Informatik und Statistik
• Sprache der Hochschulschrift: Deutsch
• Datum der mündlichen Prüfung: 16. Juli 2019
• 1. Bericht­erstatter:in: Siedentop, Heinz