Ritter, Daniel (2019): Mathematical modeling of systemic risk in financial networks: managing default contagion and fire sales. Dissertation, LMU München: Faculty of Mathematics, Computer Science and Statistics
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### Abstract

As impressively shown by the financial crisis in 2007/08, contagion effects in financial networks harbor a great threat for the stability of the entire system. Without sufficient capital requirements for banks and other financial institutions, shocks that are locally confined at first can spread through the entire system and be significantly amplified by various contagion channels. The aim of this thesis is thus to investigate in detail two selected contagion channels of this so-called systemic risk, provide mathematical models and derive consequences for the systemic risk management of financial institutions. The first contagion channel we consider is default contagion. The underlying effect is here that insolvent institutions cannot service their debt or other financial obligations anymore - at least partially. Debtors and other directly impacted parties in the system are thus forced to write off their losses and can possibly be driven into insolvency themselves due to their incurred financial losses. This on the other hand starts a new round in the default contagion process. In our model we simplistically describe each institution by all the financial positions it is exposed to as well as its initial capital. In doing so, our starting point is the work of Detering et al. (2017) - a model for contagion in unweighted networks - which particularly considers the exact network configuration to be random and derives asymptotic results for large networks. We extend this model such that weighted networks can be considered and an application to financial networks becomes possible. More precisely, for any given initial shock we deduce an explicit asymptotic expression for the total damage caused in the system by contagion and provide a necessary and sufficient criterion for an unshocked financial system to be stable against small shocks. Moreover, we develop an explicit formula for necessary and sufficient risk capital at the level of single institutions that ensures stability of the financial network. We demonstrate by simulations that our asymptotic results give a good description for financial networks of the size of a few thousand institutions already. In the next step, we develop a multi-dimensional extension of our model for default contagion such that we can describe the complex structures observed in financial networks - particularly core-periphery-structures but also multi-layered structures, regional concentrations and mixtures thereof. To this end, we assign to each institution in the network an additional parameter describing its type. The network is thereby divided in different subsystems (blocks). In particular, this new model enables us to quantify the impact of a local shock in one of the subsystems (e. g. a certain country) to the global system. Our results show that the additional complexity can significantly affect the stability of the financial system and we develop measures for the individual subsystems to secure themselves against contagion from other subsystems. Furthermore, we accomplish a more realistic modeling of financial obligations whose size may depend on both contracting parties. So far, meaningful analytical results could only be derived under the assumption that the amount of contagion only depends on the exposed party. We demonstrate that this simplifying assumption can lead to a grave underestimation of the risk potential of a system and the additional complexity in our model is thus essential for a realistic assessment of a system's stability. Next, we develop a model for the contagion channel of fire sales at which institutions react to an initial shock by selling asset shares - forced by regulations for instance. As a result the share prices come under pressure and investors suffer further losses. This in turn leads again to asset sales and the process proceeds. For the modeling of this contagion channel, we describe each institution by the number and kind of its held asset shares as well as its initial capital and the losses suffered due to some initial shock. Additionally we assume that institutions make their decision to sell shares according to some given function and also the price impact of sales is described by a given function. In our modeling we resort to ideas from the default contagion literature and we thus achieve a rigorous description of the process. In particular, we asymptotically determine the total damage to the system caused by the initial shock and the subsequent fire sales, and we provide a classification of stable systems as well as sufficient risk capital to ensure stability of a financial system. Again we verify the applicability of our asymptotic results by suitable simulations. Finally, we combine the models for default contagion and fire sales to get a more complete picture of contagion effects in periods of crisis. Our results show that the two contagion channels can tremendously amplify each other and thus stress the importance of combined models for the understanding of systemic risk. Also for the combined case we achieve to derive capital requirements sufficient to ensure stability of the system that are hence of great interest to regulatory institutions.

### Abstract

Wie die Finanzkrise in 2007/08 eindrucksvoll zeigte, bergen Ansteckungseffekte in Finanznetzwerken eine große Gefahr für die Stabilität des gesamten Systems. Ohne ausreichende Kapitalanforderungen an Banken und andere Finanzinstitutionen können sich anfangs lokal beschränkte Schocks über verschiedene Ansteckungskanäle im gesamten System ausbreiten und sich dabei um ein Vielfaches verstärken. Das Ziel dieser Dissertation ist es deswegen, zwei ausgewählte Ansteckungskanäle dieses sogenannten systemischen Risikos genauer zu untersuchen, mathematisch zu modellieren und Konsequenzen für das systemische Risikomanagement von Finanzinstitutionen abzuleiten. Der erste Ansteckungskanal, welchen wir betrachten, ist Default Contagion. Der zugrundeliegende Effekt ist hierbei, dass insolvente Institutionen ihre Schulden oder andere finanzielle Verpflichtungen nicht mehr - oder nur teilweise - bedienen können. Gläubiger oder anderweitig direkt beeinflusste Parteien im System sind deshalb gezwungen, Abschreibungen vorzunehmen, und werden durch die erlittenen finanziellen Verluste möglicherweise selbst in die Insolvenz getrieben. Dies wiederum läutet eine neue Runde im Default Contagion-Prozess ein. In unserem Modell beschreiben wir jede Institution vereinfacht durch die Gesamtheit der Finanzpositionen, denen sie ausgesetzt ist, sowie ihr ursprüngliches Kapital. Unser Ausgangspunkt ist hierbei die Arbeit von Detering et al. (2017) - ein Modell für Ansteckung in ungewichteten Netzwerken - welches insbesondere die exakte Netzwerkkonfiguration als zufällig betrachtet und asymptotische Ergebnisse für große Netzwerke herleitet. Wir erweitern dieses Modell, sodass auch gewichtete Netzwerke betrachtet werden können und dadurch eine Anwendung auf Finanznetzwerke möglich wird. Genauer leiten wir für einen gegebenen anfänglichen Schock einen expliziten, asymptotischen Ausdruck für den durch Ansteckung verursachten Gesamtschaden im System her und liefern ein notwendiges und hinreichendes Kriterium dafür, dass ein ungeschocktes Finanznetzwerk stabil gegenüber kleinen Schocks ist. Ferner entwickeln wir eine explizite Formel für notwendiges und hinreichendes Risikokapital auf Ebene der einzelnen Institutionen, sodass die Stabilität des Finanznetzwerks gewährleistet wird. Durch Simulationen zeigen wir, dass unsere asymptotischen Resultate bereits für Finanznetzwerke in der typischen Größenordnung von einigen tausend Institutionen eine sehr gute Beschreibung liefern. In einem nächsten Schritt entwickeln wir eine mehrdimensionale Erweiterung unseres Modells für Default Contagion, um die in Finanznetzwerken beobachteten komplexen Strukturen abbilden zu können - allen voran ist das die Core-Periphery Struktur, aber auch mehrschichtige Strukturen, regionale Konzentrationen und Mischformen davon. Zu diesem Zweck weisen wir jeder Institution im Netzwerk einen zusätzlichen Parameter zu, welcher deren Typ beschreibt. Das Netzwerk wird dadurch in Subsysteme (Blöcke) eingeteilt. Dieses neue Modell ermöglicht es insbesondere, die Auswirkungen eines lokalen Schocks in einem der Subsysteme (z. B. ein bestimmtes Land) auf das Gesamtsystem zu quantifizieren. Unsere Resultate zeigen, dass diese zusätzliche Komplexität die Stabilität des Finanzsystems stark beeinträchtigen kann, und wir entwickeln Maßnahmen, mit denen sich einzelne Subsysteme vor der Ansteckung durch andere Subsysteme schützen können. Außerdem gelingt es uns, realistischere finanzielle Verpflichtungen zu modellieren, deren Höhe von beiden Vertragsparteien abhängt. Bisher war es nur unter der Annahme, dass das Ausmaß einer Ansteckung lediglich von der exponierten Seite abhängt, möglich, aussagekräftige analytische Ergebnisse abzuleiten. Wie wir demonstrieren, kann diese vereinfachende Annahme zu einer gravierenden Unterschätzung des Risikopotentials in einem System führen, und die zusätzliche Komplexität in unserem Modell ist deswegen essentiell, um die Stabilität eines Systems realistisch einschätzen zu können. Als nächstes entwickeln wir ein Modell für den Ansteckungskanal Fire Sales, bei dem Institutionen auf einen anfänglichen Schock mit dem Verkauf von Aktien reagieren - z. B. aufgrund entsprechender Regularien. Dadurch geraten die Aktienpreise unter Druck und Investoren erleiden weitere Verluste. Dies wiederum führt erneut zu Verkäufen und der Prozess setzt sich weiter fort. Zur Modellierung dieses Ansteckungsprozesses beschreiben wir jede Institution durch die Anzahl und Art ihrer gehaltenen Aktien sowie ihr ursprüngliches Kapital und den durch einen anfänglichen Schock verursachten Verlust. Zusätzlich nehmen wir an, dass Institutionen ihre Entscheidung zum Verkauf von Aktien anhand einer gegebenen Funktion treffen und auch die Auswirkungen der Verkäufe auf die Aktienpreise durch eine gegebene Funktion beschrieben werden. In unserer Modellierung greifen wir Ideen aus der Literatur zu Default Contagion auf und es gelingt uns so, eine rigorose Beschreibung des Prozesses zu liefern. Insbesondere bestimmen wir asymptotisch den Gesamtschaden im System, der durch den Anfangsschock und anschließende Fire Sales verursacht wird, und wir liefern eine Klassifikation von stabilen Systemen sowie hinreichendes Risikokapital, um die Stabilität eines Finanzsystems sicherzustellen. Erneut belegen wir die Anwendbarkeit unserer asymptotischen Resultate durch geeignete Simulationen. Schließlich kombinieren wir die Modelle für Default Contagion und Fire Sales, um ein kompletteres Bild von Ansteckungseffekten in Krisenzeiten zu bekommen. Unsere Ergebnisse zeigen, dass sich die beiden Ansteckungskanäle gegenseitig enorm verstärken können, und unterstreichen deswegen die Wichtigkeit von kombinierten Modellen für das Verständnis von systemischem Risiko. Auch für den kombinierten Fall gelingt es uns, Kapitalanforderungen herzuleiten, die ausreichen, um die Stabilität des Systems zu gewährleisten, und deshalb von großem Interesse für regulatorische Einrichtungen sind.