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Projizierte gestörte Coulomb-Dirac-Operatoren und ihre Eigenwerte
Projizierte gestörte Coulomb-Dirac-Operatoren und ihre Eigenwerte
In dieser Dissertation werden Dirac-Operatoren studiert, die in der mathematischen Beschreibung verschiedener physikalischer Modelle Verwendung finden. Dabei nehmen Coulomb-Dirac-Operatoren, d. h. Dirac-Operatoren mit Coulomb-Potentialen, eine zentrale Rolle ein. Zunächst untersuchen wir die Eigenwerte in der Lücke des wesentlichen Spektrums der Dirac-Operatoren, deren Potentiale eine Coulomb-Singularität haben können, um die Bindungsenergien eines relativistischen Elektrons, das sich in einem kernfeldähnlichen Potential bewegt, zu bestimmen. Es gelingt uns für diese Eigenwerte eine Minimax-Charakterisierung zu beweisen. Anschließend zeigen wir untere Schranken auf die Beträge der Coulomb-Dirac-Operatoren in Form von Potenzen des Laplace-Operators und wenden diese Resultate an. Dadurch erhalten wir Stabilitätsaussagen für das relativistische Elektronen-Positronen-Feld in einem Coulomb-Potential. Zusätzlich gewinnen wir Abschätzungen auf die Energien gebundener Zustände, welche in verunreinigtem Graphen durch eine elektromagnetische Störung erzeugt werden. Mathematisch ausgedrückt entspricht dies Abschätzungen vom Typ Cwikel-Lieb-Rozenblum und Lieb-Thirring auf die negativen Eigenwerte der gestörten masselosen Coulomb-Dirac-Operatoren im Furry-Bild. Motiviert durch diese Abschätzungen untersuchen wir abschließend für alle selbstadjungierten Realisierungen der positiv projizierten masselosen Coulomb-Dirac-Operatoren die Existenz eines virtuellen Niveaus bei null, d. h., es wird analysiert, ob jede beliebig kleine negative Störung dieser Operatoren einen negativen Eigenwert erzeugt., In this work we study Dirac operators, which are used in the mathematical description of different physical models. An important role will be played by Coulomb-Dirac operators, i.e., Dirac operators with Coulomb potentials. At first, we prove a minimax characterisation of eigenvalues in the gap of the essential spectrum of Dirac operators with potentials, which may have a Coulomb singularity. These eigenvalues correspond to bound state energies of a relativistic Hydrogen-like system. Subsequently, we prove lower bounds on the moduli of Coulomb-Dirac operators in terms of powers of the Laplacian. As an application we improve known results concerning the stability of the relativistic electron-positron field in a Coulomb potential. We also obtain estimates on the energies of the bound states in graphene created by an electromagnetic perturbation. From the mathematical point of view this corresponds to estimates of Cwikel-Lieb-Rozenblum and Lieb-Thirring type on the negative eigenvalues of perturbed massless Coulomb-Dirac operators in the Furry picture. We complete our study by analysing the existence of virtual levels for all self-adjoint realisations of positively projected massless Coulomb-Dirac operators, i.e., we examine whether every negative perturbation of these operators creates a negative eigenvalue.
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Müller, David
2018
German
Universitätsbibliothek der Ludwig-Maximilians-Universität München
Müller, David (2018): Projizierte gestörte Coulomb-Dirac-Operatoren und ihre Eigenwerte. Dissertation, LMU München: Faculty of Mathematics, Computer Science and Statistics
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Abstract

In dieser Dissertation werden Dirac-Operatoren studiert, die in der mathematischen Beschreibung verschiedener physikalischer Modelle Verwendung finden. Dabei nehmen Coulomb-Dirac-Operatoren, d. h. Dirac-Operatoren mit Coulomb-Potentialen, eine zentrale Rolle ein. Zunächst untersuchen wir die Eigenwerte in der Lücke des wesentlichen Spektrums der Dirac-Operatoren, deren Potentiale eine Coulomb-Singularität haben können, um die Bindungsenergien eines relativistischen Elektrons, das sich in einem kernfeldähnlichen Potential bewegt, zu bestimmen. Es gelingt uns für diese Eigenwerte eine Minimax-Charakterisierung zu beweisen. Anschließend zeigen wir untere Schranken auf die Beträge der Coulomb-Dirac-Operatoren in Form von Potenzen des Laplace-Operators und wenden diese Resultate an. Dadurch erhalten wir Stabilitätsaussagen für das relativistische Elektronen-Positronen-Feld in einem Coulomb-Potential. Zusätzlich gewinnen wir Abschätzungen auf die Energien gebundener Zustände, welche in verunreinigtem Graphen durch eine elektromagnetische Störung erzeugt werden. Mathematisch ausgedrückt entspricht dies Abschätzungen vom Typ Cwikel-Lieb-Rozenblum und Lieb-Thirring auf die negativen Eigenwerte der gestörten masselosen Coulomb-Dirac-Operatoren im Furry-Bild. Motiviert durch diese Abschätzungen untersuchen wir abschließend für alle selbstadjungierten Realisierungen der positiv projizierten masselosen Coulomb-Dirac-Operatoren die Existenz eines virtuellen Niveaus bei null, d. h., es wird analysiert, ob jede beliebig kleine negative Störung dieser Operatoren einen negativen Eigenwert erzeugt.

Abstract

In this work we study Dirac operators, which are used in the mathematical description of different physical models. An important role will be played by Coulomb-Dirac operators, i.e., Dirac operators with Coulomb potentials. At first, we prove a minimax characterisation of eigenvalues in the gap of the essential spectrum of Dirac operators with potentials, which may have a Coulomb singularity. These eigenvalues correspond to bound state energies of a relativistic Hydrogen-like system. Subsequently, we prove lower bounds on the moduli of Coulomb-Dirac operators in terms of powers of the Laplacian. As an application we improve known results concerning the stability of the relativistic electron-positron field in a Coulomb potential. We also obtain estimates on the energies of the bound states in graphene created by an electromagnetic perturbation. From the mathematical point of view this corresponds to estimates of Cwikel-Lieb-Rozenblum and Lieb-Thirring type on the negative eigenvalues of perturbed massless Coulomb-Dirac operators in the Furry picture. We complete our study by analysing the existence of virtual levels for all self-adjoint realisations of positively projected massless Coulomb-Dirac operators, i.e., we examine whether every negative perturbation of these operators creates a negative eigenvalue.