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Holz auf der Heide, Caroline (2016): Distances and automatic sequences in distinguished variants of Hanoi graphs. Dissertation, LMU München: Fakultät für Mathematik, Informatik und Statistik
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Abstract

In this thesis three open problems concerning Hanoi-type graphs are addressed. I prove a theorem to determine all shortest paths between two arbitrary vertices s and t in the General Sierpiński graph S_p^n with base p ≥ 3 and exponent n ≥ 0 and find an algorithm based on this theorem which gives us the index of the potential auxiliary subgraph, the distance between s and t and the best first move(s). Using the isomorphism between S_3^n and the Hanoi graphs H_3^n, this algorithm also determines the shortest paths in H_3^n. The results are also used in order to simplify proofs of already known metric properties of S_p^n. Additionally, I compute the average number of input pairs (s_i, t_i) for i ϵ{1,...,n} to be read by the algorithm. The Theorem and the algorithm for S_p^n are modified for the Sierpiński triangle graphs, which are deeply connected to the well-known Sierpiński triangle and the Sierpiński graphs, with the result that the shortest paths in the Sierpiński triangle graphs can be determined for the first time. The Hanoi graphs H_3^n are then considered as directed graphs by differentiating the directions of the disc moves between the pegs of the corresponding Tower of Hanoi. For the problem to transfer a tower from one peg to another peg there are five different solvable variants. Here, the variants TH(C_3^+) and TH(K_3^-) are discussed concerning the infinite sequences of moves which arise from the solutions as n tends to infinity. The Allouche-Sapir Conjecture says that these sequences are not d-automatic for any d. I prove this for the TH(C_3^+) sequence with the aid of the frequency of a letter and its rationality in automatic sequences. For the TH(K_3^-) sequence I employ Cobham’s Theorem about multiplicative independence, automatic sequences and ultimate periodicity. I show that this sequence is the image, under a 1-uniform morphism, of an iterative fixed point of a primitive prolongable endomorphism. F. Durand’s methodᵃ is then used for the decision about the question whether the sequence is ultimately periodic. The method of I. V. Mitrofanovᵇ, which works with subword schemata,is applied to the problem as well. Using the theory of recognisable sets, a sufficient condition for deciding the question about the automaticity of the TH(K_3^-) sequence is deduced. Finally, a yet not studied distance problem on the so-called Star Tower of Hanoi, which is based on the star graph S t(4), is considered. Assuming that the Frame-Stewart type strategy is optimal, a recurrence for the length of the resulting paths is deduced and solved up to n = 12. ᵃ F. Durand, HD0L ω-equivalence and periodicity problems in the primitive case (to the memory of G. Rauzy). Journal of Uniform Distribution Theory, 7(1):199-215, 2012 ᵇ I. V. Mitrofanov, Periodicity of Morphic Words, Journal of Mathematical Sciences, 206(6):679-687, 2015

Abstract

Ich beweise ein Theorem zur Bestimmung aller kürzesten Wege zwischen zwei beliebigen Ecken s und t in den allgemeinen Sierpiński-Graphen S_p^n mit Basis p ≥ 3 und Exponent n ≥ 0 und erstelle auf diesem Theorem beruhend einen Algorithmus, der den Index des allfälligen Hilfsuntergraphen, den Abstand zwischen s und t und einen besten ersten Schritt liefert. Unter Verwendung des Isomorphismus zwischen S_3^n und den Hanoi-Graphen H_3^n bestimmt dieser Algorithmus auch die kürzesten Wege in H_3^n. Die Ergebnisse werden benutzt, um Beweise bereits bekannter metrischer Eigenschaften der S_p^n zu vereinfachen. Zusätzlich berechne ich die durchschnittlich benötigte Anzahl von Eingabepaaren (s_i, t_i) für i ϵ{1,...,n} in den Algorithmus. Das Theorem und der Algorithmus für S_p^n werden für die Klasse der Sierpiński-Dreiecksgraphen, welche in direktem Zusammenhang mit dem berühmten Sierpiński-Dreieck und den Sierpiński-Graphen stehen, modifiziert, sodass erstmals auch die kürzesten Wege in diesen Graphen bestimmt werden können. Die Hanoi-Graphen H_3^n werden dann als gerichtete Graphen betrachtet, indem man die Richtungen der Bewegungen zwischen den Stäben des entsprechenden Turms von Hanoi differenziert. Für das Problem des Versetzens eines Turms von einem Stab auf einen anderen gibt es fünf verschiedene lösbare Varianten. Die Varianten TH(C_3^+) und TH(K_3^-) werden bezüglich der unendlichen Folgen von Bewegungen betrachtet, die sich durch die Lösung für n gegen Unendlich strebend ergeben. Die Allouche-Sapir-Vermutung besagt, dass für kein d diese Folgen d-automatisch erzeugt sind. Ich beweise dies für die TH(C_3^+) Folge mit Hilfe der Theorie über die Häufigkeit eines Buchstabens und deren Rationalität in automatisch erzeugten Folgen. Für die TH(K_3^-) Folge wird Cobhams Theorem über multiplikative Unabhängigkeit, automatisch erzeugte Folgen und ultimative Periodizität verwendet. Ich zeige, dass diese Folge das Bild, unter einem 1-uniformen Morphismus, eines iterativen Fixpunktes eines primitiven verlängerbaren Endomorphismus ist. Die Methode von F. Durandᵃ wird dann für die Entscheidung über die Frage, ob die Folge ultimativ periodisch ist, verwendet. Ebenso wird die Methode von I. V. Mitrofanovᵇ, welche mit Teilwortschemata arbeitet, auf das Problem angewandt. Unter Verwendung der Theorie über erkennbare Mengen wird eine hinreichende Bedingung für die Frage der Automatizität der TH(K_3^-) Folge hergeleitet. Zuletzt wird ein bislang nicht untersuchtes Abstandsproblem im sogenannten Stern-Turm-von- Hanoi betrachtet, welcher auf dem Stern-Graphen St(4) beruht. Unter der Annahme, dass die Frame-Stewart-Strategie optimal sei, wird eine Rekursionsvorschrift für die Länge der so gewonnenen Wege entwickelt und bis n = 12 gelöst. ᵃ F. Durand, HD0L ω-equivalence and periodicity problems in the primitive case (to the memory of G. Rauzy). Journal of Uniform Distribution Theory, 7(1):199-215, 2012 ᵇ I. V. Mitrofanov, Periodicity of Morphic Words, Journal of Mathematical Sciences, 206(6):679-687, 2015