Krüger, Torben (2015): Local spectral universality for random matrices with independent entries. Dissertation, LMU München: Faculty of Mathematics, Computer Science and Statistics
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### Abstract

We consider the local eigenvalue statistics of large self-adjoint $N \times N$ - random matrices, $\mathbf{H}=\mathbf{H}^*$, with centred independent entries. In contrast to previous works the matrix of variances, $s_{i j}= \mathbb{E}\,|h_{i j}|^2$, is not assumed to be stochastic. Hence the density of states is not the Wigner semicircle law. In this work we prove that as $N$ tends to infinity the $k$ - point correlation function of finitely many eigenvalues becomes universal, i.e., it depends only on the symmetry class of the underlying random matrix ensemble and not on the distributions of its entries. The proof consists of three major steps. In the first step we analyse the solution, $\mathbf{m}(z)=(m_1(z), \dots, m_N(z))$, of the quadratic vector equation (QVE), $-1/m_i(z)= z+ \sum_j s_{i j}m_j(z)$, for any complex number $z$. We show that the entries, $m_i$, can be represented as Stieltjes transforms of probability densities on the real line. We characterise these densities in terms of their singularities, which are algebraic of degree at most three. We present a complete stability analysis of the QVE everywhere, including the vicinity of the singularities. This stability analysis is used in the second step. Here we prove that the diagonal elements of the resolvent, $\mathbf{G} = (\mathbf{H}-z)^{-1}$, satisfy the perturbed QVE, $-1/G_{ii}(z)= z+ \sum_j s_{i j}G_{jj}(z)+d_i(z)$, with a random noise vector $\mathbf{d}$. We show that as $N$ grows the noise vanishes and the resolvent is close to the deterministic diagonal matrix $\text{diag}(m_1, \dots, m_N)$. This result is shown with a precision down to the finest spectral scale, just above the typical eigenvalue spacing. It thus implies the local law and rigidity of the eigenvalue positions for this random matrix model. In the third and final step, we use the Dyson-Brownian-motion to establish universality of the local eigenvalue statistics.

### Abstract

Wir analysieren die lokale Eigenwertstatistik gro{\ss}er selbstadjungierter $N\times N$ - Zufallsmatrizen, $\mathbf{H}=\mathbf{H}^*$, mit unabh\"angigen und zentrierten Eintr\"agen. Anders als in vorangegangenen Arbeiten nehmen wir nicht an, dass die Matrix der Varianzen, $s_{i j}= \mathbb{E}\,|h_{i j}|^2$, stochastisch ist. Insbesondere ist somit auch die globale Eigenwertdichte nicht durch Wigners Halbkreisverteilung gegeben. Wir beweisen in dieser Arbeit, dass mit wachsender Gr\"o{\ss}e $N$ der Zufallsmatrix die $k$-Punktfunktion endlich vieler Eigenwerte einem universellen Limes entgegen strebt. Dieser ist ausschlie{\ss}lich durch die Symmetrieklasse des zugrundeliegenden Matrixensembles bestimmt und von den Details der Verteilung der individuellen Eintr\"age unabh\"angig. Der Beweis wird in drei Schritten gef\"uhrt. Im ersten Schritt analysieren wir die L\"osung, $\mathbf{m}(z)=(m_1(z), \dots, m_N(z))$, der quadratischen Vektorgleichung (QVE), $-1/m_i(z)= z+ \sum_j s_{i j}m_j(z)$, in der $z$ eine komplexe Zahl ist. Wir zeigen, dass die Komponenten, $m_i$, der L\"osung als Stieltjes-Transformation gewisser Wahrscheinlichkeitsdichten auf der reellen Achse dargestellt werden k\"onnen. Wir charakterisieren diese Dichten anhand ihres Singularit\"atsverhaltens und zeigen dass dieses h\"ochstens von algebraischer Ordnung drei ist. Wir f\"uhren eine vollst\"andige Stabilit\"atsanalyse der QVE durch, welche auch die Umgebung der Singularit\"aten einschlie{\ss}t. Diese wird im zweiten Schritt des Beweises verwendet, in welchem wir zeigen, dass die Diagonaleintr\"age der Resolvente, $\mathbf{G} = (\mathbf{H}-z)^{-1}$, die gest\"orte QVE, $-1/G_{ii}(z)= z+ \sum_j s_{i j}G_{jj}(z)+d_i(z)$, mit einer zuf\"alligen vektorwertigen St\"orung, $\mathbf{d}$, erf\"ullen. Da mit wachsendem $N$ die St\"orung gegen Null konvergiert, n\"ahert sich die Resolvente im Limes der deterministischen Diagonalmatrix $\text{diag}(m_1, \dots, m_N)$ an. Dieses Resultat wird mit einer optimalen spektralen Aufl\"osung gezeigt, welche knapp \"uber dem typischen Abstand der Eigenwerte liegt. Als Konsequenz sehen wir, dass die Fluktuation der Eigenwerte die durch diese Aufl\"osung gegebene Gr\"o{\ss}enordung nicht \"ubersteigt. Im dritten und letzten Schritt nutzen wir den von Dyson eingef\"uhrten Prozess der Dyson-Brownschen Bewegung der Eigenwerte und die K\"urze seine lokalen Relaxationszeit um die Universalit\"at der lokale Eigenwertstatistik zu beweisen.