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Schneider, Robert (2016): Modified gravity and cosmology with two extra dimensions. Dissertation, LMU München: Fakultät für Physik
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Abstract

In this thesis, we investigate the gravitational consequences of theories in which the four spacetime dimensions of our universe are augmented by two spatial extra dimensions. More specifically, the focus is on braneworld scenarios, where our world is confined on a hypersurface in the higher-dimensional bulk, allowing the extra dimensions to be large or even infinite. Our main motivation for studying such models is that they could in principle be able to solve the cosmological constant (CC) problem via degravitation: the CC only curves the extra space, leaving the brane geometry flat. A major difference to the simpler case of a codimension-one brane is that here, gravitational waves can be emitted into the bulk, even at the 3D homogeneous and isotropic level, as is relevant for cosmology. Therefore, we first analyze the question how an outgoing wave boundary condition can be implemented, which is necessary in order to obtain a closed set of modified Friedmann equations predicting the cosmological on-brane evolution. We find that a potential tool from the literature, provided by a certain decomposition of the Weyl tensor - while being applicable to plane gravitational waves - fails for cylindrical waves. This failure is related to the fact that it is already impossible to locally separate incoming from outgoing linear cylindrical waves (on flat spacetime), as we demonstrate by explicitly deriving the corresponding nonreflecting boundary condition, which is nonlocal in time. We then consider a generalization of the Dvali-Gabadadze-Porrati (DGP) model, containing an additional compact on-brane dimension on top of the one infinite codimension. Since here the 3D maximally symmetric brane emits plane waves, the Weyl tensor criterion can be used to exclude incoming bulk waves, and we derive the resulting Friedmann equations. If the compact dimension is stabilized, DGP cosmology is recovered, but we find indications that the stabilization should break down when the CC starts to dominate, which would lead to additional, potentially interesting late time modifications. If, on the other hand, the compact direction is allowed to expand freely, there are dynamically degravitating solutions - which, however, lack a 4D regime and are thus ruled out, as we demonstrate by fitting to supernova data. Next, we turn to the codimension-two version of the DGP model. By numerically solving the full nonlinear coupled bulk-brane system for cosmological symmetries on the (regularized) brane, we show that in some region of parameter space, a CC - but also any other fluid component - gets degravitated dynamically, and a static geometry is approached via the emission of Einstein-Rosen waves. For other model parameters, pathological super-accelerating solutions are encountered. The origin of this unstable behavior is traced back to a tachyonic ghost mode which is identified in this parameter region by studying linear metric perturbations around a nontrivial pure tension background. While confirming the ghost result on Minkowski from the literature, we gain the important insight that the ghost disappears if the brane tension is large enough, thereby reconciling the model with the physical expectation of a healthy low energy effective theory. Unfortunately, the healthy region is again incompatible with an appropriate 4D gravity regime, and therefore ruled out phenomenologically. The preceding analysis only covered sub-critical brane tensions, meaning that the deficit angle of the exterior conical geometry is less than 2π. In the following chapter, we investigate super-critical tensions (first in 4D), and find that the (regularized) static solution is no longer stable. Instead, the axial direction expands at an asymptotically constant rate, and the exterior geometry (which is necessarily compact) takes the form of a growing cigar. We are able to derive an analytic relation between the expansion rate and the tension, which - when adapted to the 6D setup - only yields a (small) constant shift in the CC, and can therefore not help with the CC problem. Finally, the case of two finite codimensions is analyzed within the model of supersymmetric large extra dimensions (SLED). First, we show that - contrary to recent claims in the literature - a brane-localized flux cannot help avoiding the fine-tuning (which is here imposed by flux quantization) in order to obtain 4D flat solutions, basically because only scale invariant brane couplings ensure a flat brane. Next, we ask if a more realistic model with a finite brane width and scale invariance breaking couplings could still be successful by predicting a small enough (albeit nonzero) 4D curvature, but find a negative answer: If the extra-dimensional volume is within its currently allowed range, both effects give way too large contributions to the curvature, unless the brane width were many orders of magnitude below the bulk Planck length, and again some sort of fine-tuning were invoked.

Abstract

In dieser Dissertation untersuchen wir die gravitativen Konsequenzen von Theorien, in denen die vier Raumzeit Dimensionen unseres Universums um zwei räumliche Extradimensionen erweitert werden. Insbesondere liegt der Fokus auf Branen-Konstruktionen, die davon ausgehen, dass unsere Welt auf einer Hyperebene im höherdimensionalen Bulk eingebettet ist, was große oder gar unendlich ausgedehnte Extradimensionen ermöglicht. Unsere Motivation, solche Modelle zu studieren, rührt hauptsächlich von deren prinzipieller Möglichkeit, das Kosmologische Konstanten (KK) Problem mittels Degravitation zu lösen: Die KK krümmt nur die Extradimensionen und lässt die Branengeometrie flach. Ein Hauptunterschied zum einfacheren Fall einer Kodimension eins Brane ist, dass hier Gravitationswellen in den Bulk emittiert werden können - selbst für 3D homogene und isotrope Geometrien, wie sie für Kosmologie Fragestellungen relevant sind. Daher analysieren wir zunächst die Frage, wie eine Randbedingung für auslaufende Wellen implementiert werden kann, was notwendig ist um ein geschlossenes System modifizierter Friedmann Gleichungen zu erhalten, das die Branen-Evolution vorhersagt. Wir finden, dass ein potenzielles Werkzeug aus der Literatur, das auf einer bestimmten Zerlegung des Weyl-Tensors beruht - während es für ebene Gravitationswellen anwendbar ist - für zylindrische Wellen versagt. Dieses Versagen steht im Zusammenhang mit der Tatsache, dass es bereits unmöglich ist, ein- und auslaufende lineare zylindrische Wellen (auf einer flachen Raumzeit) lokal zu trennen; dies demonstrieren wir, indem wir die entsprechende nichtreflektierende Randbedingung explizit herleiten, welche nichtlokal in der Zeit ist. Anschließend betrachten wir eine Verallgemeinerung des Dvali-Gabadadze-Porrati (DGP) Modells, die zusätzlich zu der einen unendlichen Kodimension eine weitere, kompakte Branen-Dimension enthält. Da die 3D maximal symmetrische Brane hier ebene Wellen emittiert, können wir das Weyl-Tensor Kriterium verwenden um einlaufende Bulk-Wellen auszuschließen, und so die resultierenden Friedmann Gleichungen herzuleiten. Wenn die kompakte Dimension stabilisiert wird, reproduzieren wir DGP Kosmologie, finden jedoch Indikationen dafür, dass die Stabilisierung versagen sollte wenn die KK dominiert, was zusätzliche, potenziell interessante Modifikationen zu späten Zeiten zur Folge hätte. Wenn die kompakte Richtung hingegen frei expandieren kann, gibt es dynamisch degravitierende Lösungen - die allerdings kein 4D Regime aufweisen und daher ausgeschlossen sind, was wir durch einen Fit an Supernova Daten demonstrieren. Danach wenden wir uns der Kodimension zwei Version des DGP Modells zu. Indem wir das volle nichtlineare gekoppelte Bulk-Branen System für kosmologische Symmetrien auf der (regularisierten) Brane numerisch lösen, zeigen wir, dass in einer Region des Parameterraums eine KK - aber auch jede andere Fluid Komponente - dynamisch degravitiert wird, und eine statische Geometrie unter Aussendung von Einstein-Rosen Wellen angenähert wird. Für andere Modellparameter beobachten wir pathologische, super-beschleunigende Lösungen. Der Ursprung dieses instabilen Verhaltens lässt sich auf eine tachyonische Geist Mode zurückführen, die wir in diesem Parameterbereich durch die Analyse linearer Metrik-Fluktuationen um einen nichttrivialen reinen Tensions-Hintergrund identifizieren. Während wir damit das Geist-Resultat auf Minkowski aus der Literatur bestätigen, gewinnen wir die wichtige Einsicht, dass der Geist verschwindet wenn die Branenspannung groß genug ist, wodurch das Modell mit der physikalischen Erwartung einer gesunden effektiven Theorie bei niedrigen Energien in Einklang gebracht wird. Leider ist der gesunde Bereich wieder nicht mit einem adäquaten 4D Gravitationsregime kompatibel und daher phänomenologisch ausgeschlossen. Die vorhergehende Analyse beschränkte sich auf sub-kritische Branenspannungen, für die der Defizitwinkel der konischen Außenraumgeometrie kleiner als 2π ist. Im darauf folgenden Kapitel untersuchen wir super-kritische Spannungen (zunächst in 4D) und finden, dass die (regularisierte) statische Lösung nicht mehr stabil ist. Stattdessen dehnt sich die axiale Richtung mit einer asymptotisch konstanten Expansionsrate aus, und die Außenraumgeometrie (die notwendigerweise kompakt ist) nimmt die Form einer wachsenden Zigarre an. Es gelingt uns, eine analytische Relation zwischen Expansionsrate und Branenspannung herzuleiten, welche - auf das 6D Setup übertragen - lediglich die KK um einen (kleinen) konstanten Betrag verschiebt, und daher für das KK Problem nicht hilfreich ist. Zuletzt analysieren wir den Fall von zwei endlichen Kodimensionen innerhalb des "supersymmetric large extra dimensions" (SLED) Modells. Zuerst zeigen wir, dass - entgegen Behauptungen in der jüngeren Literatur - ein Branen-lokalisierter Fluss nicht helfen kann, die Feinabstimmung zu verhindern, die für 4D flache Lösungen nötig ist (und hier durch die Flussquantisierung erzwungen wird); dies liegt im Wesentlichen daran, dass nur skaleninvariante Branen-Kopplungen eine flache Brane garantieren. Danach adressieren wir die Frage, ob ein realistischeres Modell mit einer endlichen Branen-Dicke sowie Skaleninvarianz brechenden Kopplungen dennoch erfolgreich sein könnte, indem es eine zwar nicht-verschwindende, aber hinreichend kleine 4D Krümmung vorhersagt, finden jedoch eine negative Antwort: Falls das Volumen der Extradimensionen innerhalb seiner derzeit erlaubten Grenzen liegt, liefern beide Effekte einen viel zu großen Krümmungsbeitrag, es sei denn die Branen-Dicke wäre viele Größenordnungen kleiner als die Bulk Planck Länge, und eine Art von Feinabstimmung wäre wieder im Spiel.