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Schmidt, Robert (2014): Coarse topology of leaves of foliations. Dissertation, LMU München: Fakultät für Mathematik, Informatik und Statistik
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Abstract

In this thesis, we investigate the question when a non-compact manifold can be quasi-isometric to a leaf in a foliation of a compact manifold. The point of departure is the result of Paul Schweitzer's that every non-compact manifold carries a Riemannian metric so that the resulting Riemannian manifold is not quasi-isometric to a leaf in a codimension one foliation of a compact manifold. We show that the coarse homology of these non-leaves is not finitely generated. This observation motivates the main question of this thesis: Does every leaf in a foliation of a compact manifold have finitely generated coarse homology? The answer to this question is a double negative: Firstly, we show that there exists a large class of two-dimensional leaves in codimension one foliations that have non-finitely generated coarse homology. Moreover, we improve Schweitzer's construction by showing that every Riemannian metric can be deformed to a codimension one non-leaf without affecting the coarse homology. In particular, we find non-leaves with trivial coarse homology. In order to answer these questions we develop computational tools for the coarse homology. Furthermore, we show that certain known criteria for manifolds to be a leaf are independent of one another and of the coarse homology.

Abstract

In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit der Frage, wann eine nicht-kompakte Mannigfaltigkeit quasi-isometrisch zu einem Blatt in einer Blätterung einer kompakten Mannigfaltigkeit sein kann. Ausgangspunkt der Arbeit ist ein Resultat von Paul Schweitzer, nach dem jede nicht-kompakte Mannigfaltigkeit eine Riemannsche Metrik trägt, sodass die resultierende Riemannsche Mannigfaltigkeit nicht quasi-isometrisch zu einem Blatt einer Kodimension 1 Blätterung einer kompakten Mannigfaltigkeit ist. Wir zeigen, dass die Grobhomologie dieser Nicht-Blätter nicht endlich erzeugt ist. Aus dieser Beobachtung motiviert sich die in dieser Arbeit untersuchte Frage, ob alle Blätter in kompakten Mannigfaltigkeiten endlich erzeugte Grobhomologie haben. Wie sich herausstellt, ist sowohl dies als auch die Umkehrung im allgemeinen nicht wahr: Wir zeigen, dass es eine große Klasse zweidimensionaler Blätter in Kodimension 1 mit nicht endlich erzeugter Grobhomologie gibt. Ferner verbessern wir Schweitzers Konstruktion, indem wir zeigen, dass jede Riemannsche Metrik zu einem Kodimension 1 Nicht-Blatt deformiert werden kann, ohne die Grobhomologie dabei zu verändern. Insbesondere konstruieren wir Nicht-Blätter mit trivialer Grobhomologie. Zur Behandlung dieser Fragestellungen entwickeln wir Berechnungsmethoden für die Grobhomologie und zeigen ferner, dass verschiedene bekannte Kriterien für Mannigfaltigkeiten Blatt zu sein voneinander und von der Grobhomologie unabhängig sind.