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Petrat, Sören (2014): Derivation of mean-field dynamics for fermions. Dissertation, LMU München: Fakultät für Mathematik, Informatik und Statistik
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Abstract

In this work, we derive the time-dependent Hartree(-Fock) equations as an effective dynamics for fermionic many-particle systems. Our main results are the first for a quantum mechanical mean-field dynamics for fermions; in previous works, the mean-field limit is usually either coupled to a semiclassical limit, or the interaction is scaled down so much, that the system behaves freely for large particle number N. We mainly consider systems with total kinetic energy bounded by const N and long-range interaction potentials, e.g., Coulomb interaction. Examples for such systems are large molecules or certain solid states. Our analysis also applies to attractive interactions, as, e.g., in fermionic stars. The fermionic Hartree(-Fock) equations are a standard tool to describe, e.g., excited states or chemical reactions of large molecules (like proteins). A deeper understanding of these equations as an approximation to the time evolution of a many body quantum system is thus highly relevant. We consider the fermionic Hatree equations (i.e., the Hartree-Fock equations without exchange term) in this work, since the exchange term is subleading in our setting. The main result is that the fermionic Hartree dynamics approximates the Schrödinger dynamics well for large N. This statement becomes exact in the thermodynamic limit N to infinity. We give explicit values for the rates of convergence. We prove two types of results. The first type is very general and concerns arbitrary free Hamiltonians (e.g., relativistic, non-relativistic, with external fields) and arbitrary interactions. The theorems give explicit conditions on the solutions to the fermonic Hartree equations under which a derivation of the mean-field dynamics succeeds. The second type of results scrutinizes situations where the conditions are fulfilled. These results are about non-relativistic free Hamiltonians with external fields, systems with total kinetic energy bounded by const N and with long-range interactions of the form x^(-s), with 0 < s < 6/5 (sometimes, for technical reasons, with a weaker or cut off singularity). We prove our main results by using a new method for deriving mean-field dynamics developed by Pickl in [Lett. Math. Phys., 97(2):151-164, 2011]. This method has been applied successfully in quantum mechanics for deriving the bosonic Hartree and Gross-Pitaevskii equations. Its application to fermions in this work is new. The method is based on a functional that "counts the number of particles outside the condensate", i.e., in the case of fermions, it measures those parts of the Schrödinger wave function that are not in the antisymmetric product of the Hartree states. We show that convergence of the functional to zero (which means that the mean-field equations approximate the dynamics well) is equivalent to convergence of the corresponding reduced one-particle density matrices in trace norm and in Hilbert-Schmidt norm. Finally, we show how also the recently treated semiclassical mean-field limits can be derived with this method.

Abstract

In dieser Arbeit werden die zeitabhängigen Hartree(-Fock) Gleichungen als effektive Dynamik für fermionische Vielteilchen-Systeme hergeleitet. Die Hauptresultate sind die ersten für eine quantenmechanische Mean-Field Dynamik ("Mittlere-Feld Dynamik") für Fermionen; in vorherigen Arbeiten ist der Mean-Field Limes üblicherweise entweder mit einem semiklassischen Limes gekoppelt oder die Wechselwirkung wird so stark runterskaliert, dass sich das System für große Teilchenzahl N frei verhält. Wir betrachten hauptsächlich Systeme, deren kinetische Energie durch konst N beschränkt ist, und langreichweitige Wechselwirkungen, wie z.B. Coulomb Wechselwirkung. Beispiele für solche Systeme sind große Moleküle oder bestimmte Festkörper. Unsere Analyse gilt auch für anziehende Wechselwirkungen, wie z.B. in fermionischen Sternen. Die fermionischen Hartree(-Fock) Gleichungen sind ein Standardwerkzeug um z.B. angeregte Zustände oder chemische Reaktionen in großen Molekülen (wie Proteinen) zu beschreiben. Ein tieferes Verständnis dieser Gleichungen als Näherung der Zeitentwicklung eines quantenmechanischen Vielteilchen-Systems ist daher äußerst relevant. Wir betrachten in dieser Arbeit die fermionischen Hartree Gleichungen (d.h., die Hartree-Fock Gleichungen ohne Austauschterm), da der Austauschterm in unserem Fall von niedriger Ordnung ist. Das Hauptresultat ist, dass die fermionische Hartree Dynamik die Schrödinger Dynamik für große N gut annähert. Diese Aussage wird im thermodynamischen Limes N gegen unendlich exakt. Wir geben explizite Konvergenzraten an. Es werden zwei Arten von Resultaten bewiesen. Die erste Art ist sehr allgemein und betrifft beliebige freie Hamiltonians (z.B. relativistisch, nicht-relativistisch, mit externen Feldern) und beliebige Wechselwirkungen. Die Theoreme geben explizite Bedingungen an die Lösungen der fermionischen Hartree-Gleichungen an, unter denen eine Herleitung der Mean-Field Dynamik funktioniert. In der zweiten Art von Resultaten wird untersucht für welche Situationen diese Bedingungen erfüllt sind. Diese Resultate sind über nicht-relativistische freie Hamiltonians mit externen Feldern, Systeme mit kinetischer Energie beschränkt durch konst N und mit langreichweitiger Wechselwirkung der Form x^(-s), mit 0 < s < 6/5 (aus technischen Gründen, manchmal mit abgeschnittener oder abgeschwächter Singularität). Die Hauptresultate werden mit einer neuen Methode zur Herleitung von Mean-Field Limiten bewiesen, die von Pickl in [Lett. Math. Phys., 97(2):151-164, 2011] entwickelt wurde. Diese Methode wurde in der Quantenmechanik erfolgreich zur Herleitung der bosonischen Hartree und Gross-Pitaevskii Gleichungen angewandt. Die Anwendung auf Fermionen in dieser Arbeit ist neu. Die Methode basiert auf einem Funktional, das die "Anzahl der Teilchen außerhalb des Kondensats zählt", d.h. im Falle von Fermionen misst es die Anteile der Schrödinger Wellenfunktion, die nicht im antisymmetrisierten Produkt der Hartree-Zustände sind. Wir zeigen, dass die Konvergenz des Funktionals gegen Null (was bedeutet, dass die Mean-Field Gleichungen die Dynamik gut annähern) äquivalent zur Konvergenz der zugehörigen Einteilchen-Dichtematrizen in Spur-Norm und Hilbert-Schmidt-Norm ist. Wir zeigen außerdem wie die kürzlich behandelten semiklassischen Mean-Field Limiten mit dieser Methode hergeleitet werden können.