Szegő-type asymptotics for the free Dirac operator

Bollmann, Leon (2025): Szegő-type asymptotics for the free Dirac operator. Dissertation, LMU München: Fakultät für Mathematik, Informatik und Statistik

Abstract

Die Resultate der vorliegenden Dissertation sind maßgeblich durch die Untersuchung von Skalierungsgesetzen der Verschränkungsentropie für freie relativistische Fermionen motiviert. Diese stehen im Zusammenhang mit Szegő-Asymptotiken für Spektralprojektionen des freien Dirac-Operators, wobei als Testfunktion eine Rényi-Entropiefunktion gewählt wird. Solch eine Spektralprojektion kann als Integraloperator mit einem, möglicherweise unstetigen, matrixwertigen Symbol aufgefasst werden. Im Falle unstetiger skalarwertiger Symbole ist die Szegő-Asymptotik Inhalt der Widom–Sobolev Formel. Eine Anwendung dieser Formel ergibt den Beweis eines logarithmisch verstärkten Oberflächengesetzes, also einem führenden Term der Ordnung L^(d−1) log L bezüglich des Skalierungsparameters L in der Asymptotik, im nicht relativistischen Fall des freien d-dimensionalen Schrödinger-Operators. Die logarithmische Verstärkung tritt auf, falls das Abschneiden an der Fermi-Energie innerhalb des absolutstetigen Spektrums des freien Schrödinger-Operators liegt. Im Fall einer nicht-positiven Fermi-Energie ist das entsprechende Symbol hingegen effektiv glatt und es tritt höchstens ein Oberflächengesetz, also ein führender Term der Ordnung L^(d−1), auf. Das erste Resultat dieser Dissertation ist in einer Zusammenarbeit mit Peter Müller entstanden und ist eine Verallgemeinerung der Widom–Sobolev Formel auf matrixwertige Symbole, welche unstetig auf dem (d−1)-dimensionalen Rand eines hinreichend regulären Bereiches sind. Es werden drei, in ihrer Allgemeinheit aufsteigende, Klassen von Testfunktionen betrachtet. Die allgemeinste dieser Klassen enthält die Rényi-Entropiefunktionen. Mit zunehmender Allgemeinheit der Testfunktionen sind striktere Voraussetzungen an die Klasse der zulässigen Symbole verbunden. Auch wenn es für den Anwendungsfall des freien Dirac-Operators nicht nötig ist, werden keine Annahmen an die Kommutativitätseigenschaften des matrixwertigen Symbols benötigt. Der Koeffizient des resultierenden verstärkten Oberflächengesetzes ist genauso explizit wie im skalaren Fall. Dies steht im Gegensatz zur Situation bei glatten Symbolen. Hier ist der Koeffizient des zugehörigen Oberflächengesetzes deutlich weniger explizit für matrixwertige Symbole als für skalarwertige Symbole. Das nächste Resultat, ebenfalls basierend auf der Zusammenarbeit mit Peter Müller, ist eine Anwendung der bewiesenen Widom–Sobolev Formel für matrixwertige Symbole auf den Spezialfall des freien Dirac-Operators. Da das Spektrum des Dirac-Operators für negative Energien unbeschränkt ist, betrachten wir eine glatt abgeschnittene Version der Fermi-Projektion, um zu garantieren, dass der betrachtete Operator Spurklasse ist. Das Symbol der Projektion erfüllt, abhängig von den beiden Parametern Masse und Fermi-Energie, unterschiedliche Eigenschaften. Wenn, in beliebiger Dimension, der Absolutbetrag der Fermi-Energie strikt größer als die Masse ist oder Fermi-Energie und Masse im eindimensionalen Fall verschwinden, weist das Symbol eine (d−1)-dimensionale Unstetigkeit auf und es gilt ein verstärktes Oberflächengesetz. Der dazugehörige Koeffizient ist unabhängig vom glatten Abschneiden der Fermi-Projektion. In den anderen Fällen wird gezeigt, dass höchstens ein Oberflächengesetz auftreten kann. Ein besonderer Fall tritt auf, falls Fermi-Energie und Masse in einem mindestens zweidimensionalen System verschwinden. In diesem Fall weist das Symbol aufgrund der Struktur des freien Dirac-Operators eine Unstetigkeit in einem einzigen Punkt auf, eine Situation die im nicht relativistischen Fall nicht auftritt. Da diese Unstetigkeit nicht hinreichend für ein verstärktes Oberflächengesetz ist, werden stattdessen die Terme niedrigerer Ordnung der Asymptotik betrachtet. Dazu erfolgt eine Einschränkung auf Würfel als Abschneidebereiche im Ort und analytische Testfunktionen. Das letzte Resultat dieser Dissertation zeigt, dass sich die asymptotische Entwicklung ab dem (d+1)ten Term von der Entwicklung für glatte Symbole unterscheidet. Die ersten d Terme der Asymptotik werden bestimmt und es wird bewiesen, dass der übrigbleibende Fehler von logarithmischer Ordnung, log L, ist. Im Spezialfall, dass die Testfunktion ein Polynom von Grad drei oder niedriger ist, wird eine Entwicklung mit d+1 Termen bewiesen, wobei der zusätzliche Term von logarithmischer Ordnung und der Fehlerterm von konstanter Ordnung ist. Der Koeffizient des logarithmischen Terms ist unabhängig vom glatten Abschneiden der Fermi-Projektion. Die Strategie dieses Beweises beruht auf der Tatsache, dass die inverse Fourier-Transformation des Symbols homogen vom Grad −d ist.

Abstract

The primary motivation behind the results presented in this thesis is the study of scaling laws for the entanglement entropy of free relativistic fermions. It is closely related to the Szegő-type asymptotics for spectral projections of the free Dirac operator with the test function given by a Rényi entropy function. Such a projection can be written as an integral operator with, potentially discontinuous, matrix-valued symbol. The study of Szegő-type asymptotics for scalar-valued discontinuous symbols is the subject of the Widom–Sobolev formula. As a consequence of this formula, a rigorous proof of a logarithmically enhanced are law, i.e. a scaling of leading order L^(d−1) log L in the scaling parameter L, of the entanglement entropy has been obtained in the non-relativistic case of the free d-dimensional Schrödinger operator. The logarithmic enhancement occurs if the cut-off at the Fermi energy is inside the absolutely continuous spectrum of the free Schrödinger operator. In the case of a non-positive Fermi energy, the symbol of the corresponding pseudo-differential operator is effectively smooth, yielding at most an area law, i.e. a scaling of leading order L^(d−1). In the first result of this thesis, based on joint work with Peter Müller, we extend the Widom–Sobolev formula for scalar-valued symbols to matrix-valued symbols which are discontinuous at the (d−1)-dimensional boundary of a suitable domain. We consider three different classes of test functions, increasing in generality. The most general of these classes of test functions contains the Rényi entropy functions. As the test functions increase in generality we require more restrictive assumptions on the class of symbols. We do not require any assumptions on the commutation properties of the matrix-valued symbol. The coefficient of the obtained enhanced area term is as explicit as in the scalar-valued case. This is in contrast to the case of a smooth symbol, where the coefficient of the corresponding area law is substantially less explicit in the matrix-valued case. In the next result, also based on joint work with Peter Müller, we apply the obtained Widom–Sobolev formula for matrix-valued symbols to the special case of the free Dirac operator. Due to the Dirac Sea being unbounded at negative energy levels, we consider a smoothly truncated version of the Fermi projection in order to guarantee that the operator in question is trace class. We analyse the resulting symbol and distinguish between several cases, depending on both mass and Fermi energy. If, in arbitrary dimension, the modulus of the Fermi Energy is strictly larger than the mass, or we have Fermi energy zero in the one-dimensional massless case, the symbol features a suitable (d−1)-dimensional discontinuity and we obtain an enhanced area law with coefficient independent of the smooth truncation of the Fermi projection. In the other cases we show that at most an area law holds. A special case occurs when both Fermi energy and mass vanish in dimension larger than one. In this case, the structure of the free Dirac operator gives rise to a symbol which is discontinuous at a single point, a situation not encountered in the non-relativistic case. As this discontinuity is not sufficient to yield a logarithmic enhancement of the area law, we study the lower-order terms of the asymptotic expansion. We restrict ourselves to nalytic test functions and cubes as spatial cut-off domains. We show that the expansion starts to differ from the expansion for smooth symbols starting from the (d+1)st term. More explicitly, we obtain the first d terms of the asymptotic expansion and prove that the error obtained by subtracting these first d terms from the expansion is of logarithmic order in the scaling parameter L, instead of being of constant order as in the case of a smooth symbol. In the special case that the test function is a polynomial of degree less or equal than three, we obtain a (d+1)-term expansion with the lowest-order term being of order log L and the error term being of constant order. The coefficient of this logarithmic term is also independent of the smooth truncation of the Fermi projection. The key to the required analysis is the fact that, in the case of vanishing mass and Fermi energy, the inverse Fourier transform of the symbol is homogeneous of degree −d.

• Dokumententyp: Dissertationen (Dissertation, LMU München)
• Themengebiete: 500 Naturwissenschaften und Mathematik ; 500 Naturwissenschaften und Mathematik > 510 Mathematik
• Fakultäten: Fakultät für Mathematik, Informatik und Statistik
• Sprache der Hochschulschrift: Englisch
• Datum der mündlichen Prüfung: 23. September 2025
• 1. Bericht­erstatter:in: Müller, Peter