Dynamic response functions of strongly correlated electrons

Ritz, Nepomuk (2025): Dynamic response functions of strongly correlated electrons: results from real-frequency quantum field theory. Dissertation, LMU München: Fakultät für Physik

Abstract

Die quantitative Beschreibung korrelierter Elektronensysteme stellt nach wie vor eine der zentralen Herausforderungen der theoretischen Festkörperphysik dar. Viele faszinierende Phänomene, etwa die Hochtemperatursupraleitung oder die Ausbildung einer "Pseudogap" in Kupraten und anderen stark korrelierten Materialien, werden durch starke Elektron-Elektron-Wechselwirkungen getrieben, sodass perturbative Methoden in vielen Bereichen versagen. Von besonderer Bedeutung sind dabei dynamische Korrelationsfunktionen, die beschreiben, wie solche Systeme auf zeitabhängige äußere Störungen reagieren, und die entscheidend für das Verständnis zahlreicher experimenteller Messungen sind. Diese Arbeit widmet sich der präzisen Berechnung dynamischer Antwortfunktionen in wechselwirkenden fermionischen Systemen. Die einleitenden Kapitel beleuchten zunächst die physikalische Relevanz dieser Größen und geben einen Überblick über experimentelle Techniken zu ihrer Messung. Ein besonderer Fokus liegt auf Vierpunktfunktionen, deren Beiträge zu dynamischen Antwortfunktionen für eine qualitativ sowie vor allem quantitativ genaue Beschreibung unerlässlich sind. Ein zentrales Thema der Arbeit ist die direkte Berechnung dieser Größen in reellen Frequenzen, im Gegensatz zum häufiger verwendeten Zugang über imaginäre Frequenzen. Dieser Ansatz umgeht das notorische Problem der analytischen Fortsetzung, das die Genauigkeit numerischer Studien stark beeinträchtigen kann. Zu diesem Zweck wird der Keldysh-Formalismus verwendet, angewandt hier auf Systeme im thermischen Gleichgewicht. In diesem Rahmen werden zwei zentrale quantenfeldtheoretische Ansätze vorgestellt: die Parquet-Gleichungen, welche selbstkonsistente Beziehungen für die Zweipunkt-Selbstenergie und den Vierpunktvertex auf Zwei-Teilchen-Niveau liefern, sowie die funktionale Renormierungsgruppe (fRG), die eine Renormierungsgruppenperspektive auf der Ebene von Korrelationsfunktionen bietet. Wir zeigen, dass die vollständige dreidimensionale Struktur des Vierpunktvertex in reellen Frequenzen innerhalb dieses Formalismus kontrollierbar ist. Als konkretes Beispiel lösen wir die Parquet- und fRG-Gleichungen für das Anderson Störstellenmodell (single-impurity Anderson model, SIAM) und beschreiben die zahlreichen technischen Herausforderungen, die dabei bewältigt werden mussten. Im abschließenden Teil der Arbeit diskutieren wir Wege zur Erweiterung der vorgestellten Methoden auf ausgedehnte, korrelierte Gittersysteme. Wir argumentieren, dass eine vielversprechende Strategie in der Kombination der genannten diagrammatischen Methoden mit der Dynamischen Mean-Field-Theorie (DMFT) liegt, wobei DMFT als nicht-perturbativer lokaler Ausgangspunkt dient. Hierfür wird jedoch ein DMFT-Störstellenlöser benötigt, der sowohl Zwei- als auch Vierpunktfunktionen berechnen kann. Die neu entwickelte Multipunkt-Erweiterung der Numerischen Renormierungsgruppe (mpNRG) erfüllt diese Anforderung, wenngleich auf Vierpunktniveau gewisse numerische Einschränkungen bestehen. Daher überprüfen wir die Konsistenz der mpNRG-Ergebnisse umfassend, insbesondere die Erfüllung der Parquet-Gleichungen sowie einer Ward-Identität, die wir erstmals in vollständiger Allgemeinheit im Keldysh-Formalismus herleiten. Mit wenigen Ausnahmen erweisen sich diese Relationen als sehr gut erfüllt, was die Eignung von mpNRG als DMFT-Löser für zukünftige diagrammatische Erweiterungen bestätigt. Abschließend heben wir das Potenzial der Quantics Tensor Cross Interpolation (QTCI) Methode hervor, mit deren Hilfe sich kompakte Darstellungen dynamischer Antwortfunktionen effizient finden lassen. Diese Methode verspricht, den Rechenaufwand zukünftiger Berechnungen erheblich zu reduzieren. Zusammenfassend etabliert diese Arbeit ein robustes Grundgerüst zur Berechnung dynamischer Antwortfunktionen in stark korrelierten Elektronensystemen in reellen Frequenzen. Die vorgestellten quantenfeldtheoretischen Beispielrechnungen für das SIAM sowie die gründlichen Konsistenzprüfungen der mpNRG-Methode legen eine solide Grundlage für zukünftige Erweiterungen auf korrelierte Gittersysteme, die durch Kompressionstechniken wie QTCI numerisch realisierbar erscheinen.

Abstract

The quantitative description of correlated electron systems remains one of the central challenges in theoretical condensed matter physics. Many fascinating phenomena, such as high-temperature superconductivity or the formation of a pseudogap in cuprates and other correlated materials, are driven by strong electron-electron interactions, rendering perturbative techniques insufficient in many regimes. Of particular importance are dynamical correlation functions, which characterize how such systems respond to time-dependent external perturbations and are key to interpreting a wide range of experimental observations. This thesis is dedicated to accurately computing dynamic response functions in interacting fermionic systems. The introductory chapters revisit the physical significance of these functions and outline experimental techniques to probe them. Special emphasis is placed on four-point functions, whose contributions to dynamic response functions are essential for both qualitative and, in particular, quantitative accuracy. The central theme of the thesis is the direct computation of these quantities in real frequencies, as opposed to the more common imaginary-frequency approach. This choice circumvents the notoriously ill-conditioned problem of analytic continuation plaguing the accuracy and reliability of numerical studies. To this end, we adopt the real-frequency Keldysh formalism applied here in thermal equilibrium. Within this framework, two main quantum field-theoretical approaches are presented: the parquet equations, which describe self-consistent relations for the two-point self-energy and four-point vertex at the two-particle level, and the functional renormalization group (fRG), which offers a renormalization-group perspective at the level of correlation functions. We demonstrate that the full three-dimensional real-frequency structure of the four-point vertex can be accurately resolved in this formalism. As a concrete example, we solve the parquet and fRG equations for the single-impurity Anderson model (SIAM) and provide a detailed account of the numerous technical challenges encountered and overcome. In the final part of the thesis, we discuss pathways toward extending these real-frequency methods to spatially extended, correlated lattice systems. We argue that combining the above diagrammatic approaches with dynamical mean-field theory (DMFT) offers a promising strategy, using DMFT as a non-perturbative local starting point. However, this requires a DMFT impurity solver capable of computing two- and four-point functions. The newly developed multipoint extension to the numerical renormalization group (mpNRG) is a method for this purpose, though some numerical limitations persist at the four-point level. We, therefore, perform extensive consistency checks of mpNRG results, verifying the parquet equations and a Ward identity that we derive in full generality within the Keldysh formalism for the first time. With only a few exceptions, these relations are found to hold with high accuracy, validating the use of mpNRG in future diagrammatic extensions of DMFT. Finally, we highlight the potential of the quantics tensor cross interpolation (QTCI) method to find compressed representations of dynamic response functions efficiently. This technique shows considerable promise in managing the computational demands of future large-scale calculations. In summary, this thesis establishes a robust framework for computing real-frequency response functions in strongly correlated electron systems. Through proof-of-principle quantum field theory calculations on the SIAM and thorough consistency checks of the mpNRG method, it lays a solid foundation for future extensions to correlated lattice systems, which compression techniques such as the QTCI promise to make computationally feasible.

• Dokumententyp: Dissertationen (Dissertation, LMU München)
• Themengebiete: 500 Naturwissenschaften und Mathematik ; 500 Naturwissenschaften und Mathematik > 530 Physik
• Fakultäten: Fakultät für Physik
• Sprache der Hochschulschrift: Englisch
• Datum der mündlichen Prüfung: 22. Mai 2025
• 1. Bericht­erstatter:in: Delft, Jan von