Anwendung und Optimierung eingeschränkter Hamiltonians

Roch, Christoph (2024): Anwendung und Optimierung eingeschränkter Hamiltonians. Dissertation, LMU München: Fakultät für Mathematik, Informatik und Statistik

Abstract

Quantum Computing Hardware ist noch immer begrenzt in der Anzahl der Qubits, deren Kohärenzeigenschaften und deren Konnektivität auf den Quantenprozessoren. Um daher bereits frühzeitig einen möglichen praktischen Quantenvorteil zum klassischen Computing zu erzielen, gilt es deshalb, sowohl relevante Anwendungsfälle mit großem Potenzial, als auch entsprechend umsetzbare Algorithmen für die aktuell verfügbare Noisy Intermediate-Scale Quantum (NISQ) Computer zu identifizieren. Viele relevante Problemstellungen der Industrie und Wissenschaft lassen sich auf Optimierungs- und Suchprobleme abbilden. Die Komplexität aus Anwendersicht ist die Transformation der Probleme in entsprechende Repräsentationen und Algorithmen für sowohl gatterbasierte als auch annealingbasierte Quantum Computing Hardware. Während Gatter-Architekturen das Problem in Form eines Quantenschaltkreis als Eingabe bekommen, werden zur Problembeschreibung für Quantum Annealing Hardware Ising-Hamiltonians oder Quadratic Unconstrained Binary Optimization (QUBO) Probleme verwendet. Viele Realwelt-Anwendungsfälle enthalten zudem Nebenbedingungen, die bei der Lösung berücksichtigt werden müssen. In Bezug auf die Ising-Hamiltonians werden diese Bedingungen in Penalty-Terme kodiert und mit Penalty-Parametern gewichtet, die bei einer Verletzung die entsprechende Lösung als invalide kennzeichnen. Diese Eigenheit beschreibt dann sogenannte eingeschränkte Ising-Hamiltonians. Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Anwendung und Optimierung eingeschränkter Ising-Hamiltonians. Zu Beginn werden hybride Algorithmen, die unter anderem auf einem eingeschränkten Ising-Hamiltonian basieren, für die Domäne der Spieltheorie vorgestellt. Die Ansätze werden sowohl auf gatter- als auch annealingbasierter Hardware evaluiert und ihre Anwendbarkeit bestimmt. Anschließend wird eine adaptierte Kreuzentropie-Methode, zur Optimierung der Penalty-Parameter eingeschränkter Ising-Hamiltonians verschiedener akademischer kombinatorischer und graphbasierter Optimierungsprobleme, präsentiert. Die Evaluation der Hamiltonians mit den optimierten Penalty-Parametern zeigt eine signifikant gesteigerte Lösungsqualität, die mit einer größeren minimalen Spektrallücke in dem jeweiligen Eigenspektrum korreliert. Schließlich werden Methoden des maschinellen Lernens eingesetzt, um allgemeine Muster und Richtlinien zur Wahl der Penalty-Parameter für ausgewählte eingeschränkte Ising-Hamiltonians zu identifizieren und zu lernen. Zusammenfassend hebt diese Arbeit die Bedeutung der Optimierung eingeschränkter Ising-Hamiltonians hervor.

Abstract

Quantum computing hardware is still limited in the number of qubits, their coherence properties and their connectivity on quantum processors. Therefore, in order to achieve a possible practical quantum advantage over classical computing at an early stage, it is necessary to identify both relevant use cases with great potential and correspondingly implementable algorithms for currently available Noisy Intermediate-Scale Quantum (NISQ) computers. Many relevant problems from industry and science can be understood as optimization and search problems. The complexity from the user's perspective is the transformation of the problems into appropriate representations and algorithms for both gate-based and annealing-based quantum computing hardware. While quantum gate architectures receive the problem in the form of a quantum circuit as input, Ising-Hamiltonians or Quadratic Unconstrained Binary Optimization (QUBO) problems are used to describe the problem for quantum annealing hardware. Some real-world use cases also contain constraints that must be considered in the solution. With respect to Ising-Hamiltonians, these constraints are encoded in penalty-terms and weighted by penalty-parameters which, when violated, mark the corresponding solution as invalid. This characteristic then describes so-called constrained Ising-Hamiltonians. The present work deals with the application and optimization of constrained Ising-Hamiltonians. At the beginning, hybrid algorithms based on a constrained Ising-Hamiltonian are presented for the domain of game theory. The approaches are evaluated on both gate- and annealing-based quantum hardware and their applicability is determined. Subsequently an adapted cross-entropy method, for optimizing the penalty-parameters of constrained Ising-Hamiltonians of various academic combinatorial and graph-based optimization problems is presented. The evaluation of the Hamiltonians with the optimized penalty-parameters shows a significantly increased solution quality, which correlates with a larger minimum spectral gap in the respective eigenspectrum. Finally, machine learning methods are used to identify and learn general patterns and guidelines for choosing penalty-parameters for selected constrained Ising-Hamiltonians. In summary, this work highlights the importance of optimizing constrained Ising-Hamiltonians.

• Dokumententyp: Dissertationen (Dissertation, LMU München)
• Keywords: quantum annealing, minimale spektralluecke, qaoa, hamiltonian
• Themengebiete: 000 Allgemeines, Informatik, Informationswissenschaft ; 000 Allgemeines, Informatik, Informationswissenschaft > 004 Informatik
• Fakultäten: Fakultät für Mathematik, Informatik und Statistik
• Sprache der Hochschulschrift: Deutsch
• Datum der mündlichen Prüfung: 22. Mai 2024
• 1. Bericht­erstatter:in: Linnhoff-Popien, Claudia