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Homotopy and renormalization group approaches for strongly correlated systems
Homotopy and renormalization group approaches for strongly correlated systems
Diese Dissertation beschäftigt sich mit der Entwicklung und Anwendung feldtheoretischer Methoden zur Untersuchung stark korrelierter Vielteilchensysteme. In diesen stark korrelierten Systemen treten aufgrund des kollektiven Verhaltens der einzelnen Freiheitsgrade neue physikalische Effekte auf. Das theoretische Verstaändnis dieser Systeme erfordert häufig computergestützte Rechenverfahren zur Lösung von interagierenden Vielteilchenmodellen frei von jedweden Approximationen. Im ersten Teil der Arbeit verwenden wir klassische Monte-Carlo-Simulationen in Kombination mit einem Renormalisierungsgruppenansatz, um die Existenz der “scratched”-XY-Universalitätsklasse eindeutig zu beweisen. Diese Universalitätsklasse beschreibt den kontinuierlichen Phasenübergang aus einer kritischen suprafluiden Phase in Systemen, welche eine zweidimensionale hydrodynamische Beschreibung erlauben, durch einen Mechanismus grundlegend verschieden von dem Berezinskii-Kosterlitz-Thouless Scenario, welches von topologischen Defekten getrieben wird. Dazu untersuchen wir den suprafluiden Phasenübergang bei endlicher Temperatur in einem modifizierten, zweidimensionalen, klassischen XY-Modell mit eindimensionalen Störstellen deren Stärken nach einem Potenzgesetz verteilt sind. Wenn der Exponent abnimmt, nimmt die Be- deutung der Störstellen zu und der Mechanismus, welcher den Phasenübergang treibt, wechselt von der Proliferation von Vortex–Anti-Vortex Paaren zu der “scratched”-XY-Kritikalität, welche durch einen nicht universellen Sprung des suprafluiden Responsekoeffizienten gekennzeichnet ist. Die Existenz der “scratched”-XY-Kritikalität bei endlicher Temperatur und ihre Beschreibung durch eine asymptotisch exakte Semi-Renormalisierungsgruppentheorie, welche zuvor für den Suprafluid-Isolator Phasenübergang in eindimensionalen Quantensystemen mit starken Störstellen entwickelt wurde, wird numerisch in einem speziell dafür entworfenen Modell bewiesen, welches minimale Korrekturen durch endliche Systemgrößen aufweist. Im zweiten Teil der Dissertation wird ein neuer analytischer sowie rechnerischer Ansatz zur Untersuchung stark korrelierter Vielteilchensysteme entwickelt. Anstatt die Lösung von Vielteilchenmodellen ausgehend von einem funktionalem Integral aufzubauen, wie z.B. in Pfadintegral-Quantum-Monte-Carlo-Simulationen und diagrammatischen Monte-Carlo-Berechnungen, schlagen wir die Verwendung funktionaler Integro-Differentialgleichungen vor, welche ausgehend von der Dyson-Schwinger-Gleichung hergeleitet werden. Diese funktionale Integro-Differentialgleichung wird ohne jedwede Approximation mit einem Homotopie-Ansatz gelöst, insbesondere wird dabei die “homotopy analysis method” eingeführt. In diesem Ansatz gibt es die Möglichkeit, die funktionalen Ableitungen exakt zu behandeln und damit leistungsfähige Reihenentwicklungen durchzuführen, welche sich grundlegend von herkömmlichen Reihenentwicklungen in der Strörungstheorie unterscheiden, d.h., die resultierende Homotopieserie überwindet die üblichen Paradigmen störungstheoretischer Ansätze in der Quantenfeldtheorie. Auf diese Weise können wir eine vollständige Lösung der Dyson-Schwinger-Gleichung für das φ4 Modell auf einem zwei dimensionalem Gitter in seinem stark korrelierten Bereich nahe eines Phasenübergangs zweiter Ordnung erzielen. Um zu diesem Ergebnis ohne jedwede Vereinfachung zu gelangen, entwickeln wir die Expansion der “homotopy analysis method” in Form von Baumdiagrammen, welches das Speicherproblem von Korrelationsfunktionen höherer Ordnung, wie z.B. der Vier-Punkt-Vertexfunktion, löst. In Analogie zu diagrammatischen Monte-Carlo Algorithmen führen wir einen Monte-Carlo-Algorithmus ein, um alle möglichen Baumdiagramme aufzusummieren, sodass die Homotopieserie auch zu höheren Ordungen ausgewertet werden kann., This thesis deals with the development and application of quantum field theoretic methods for the study of strongly correlated many-body systems. In these strongly correlated systems new physical effects arise due to the collective behavior of its individual constituents. The theoretical understanding of these systems often calls for first-principles computational approaches. In the first part of the thesis we use classical Monte Carlo simulations together with a renormalization group approach to unambiguously establish the existence of the scratched-XY universality class. This universality class describes the destruction of the critical superfluid phase in systems which allow for a two dimensional hydrodynamic description by a mechanism fundamentally different from the proliferation of topological defects. For that we study the finite-temperature superfluid transition in a modified two dimensional classical XY model with power-law distributed “scratch”-like bond disorder. As its exponent decreases, the disorder grows stronger and the mechanism driving the superfluid transition changes from conventional vortex-pair unbinding to a strong randomness criticality (termed scratched-XY criticality) characterized by a non-universal jump of the superfluid stiffness. The existence of the scratched-XY criticality at finite temperature and its description by an asymptotically exact semi-renormalization group theory, previously developed for the superfluid-insulator transition in one-dimensional disordered quantum systems, is numerically proven by designing a model with minimal finite size effects. In the second part of the thesis we develop a new analytical and computational approach for the study of strongly correlated many-body systems. Instead of setting up many-body calculations in a functional integral approach as, e.g., in path integral Quantum Monte Carlo simulations and diagrammatic Monte Carlo calculations, we propose the use of functional integro-differential equations obtained from the Dyson-Schwinger equation. This functional integro-differential equation is solved beyond any truncation scheme using a homotopy approach, in particular the homotopy analysis method. It gives the possibility to treat the functional derivatives exactly and provides a powerful series expansion technique fundamentally different from perturbation theory, i.e., the resulting homotopy series overcomes the usual paradigms of perturbative calculations in field theory. In that way we provide a full and unbiased solution to the Dyson-Schwinger equation beyond any truncation scheme illustrated for φ4 theory on a two dimensional square lattice in its strongly correlated regime close to a second-order phase transition. In order to arrive at this result we develop the expansion of the homotopy analysis method in terms of rooted tree diagrams. This also solves the storage problem of higher-order correlation functions, e.g., the four-point vertex function. Moreover, in the same spirit as diagrammatic Monte Carlo algorithms are used to sum up all connected Feynman diagrams, we introduce a Monte Carlo algorithm to sum up all possible rooted tree diagrams which allows us to evaluate the homotopy series to higher orders.
quantum field theory, renormalization group, XY-model, Dyson-Schwinger equations, homotopy
Pfeffer, Tobias
2019
English
Universitätsbibliothek der Ludwig-Maximilians-Universität München
Pfeffer, Tobias (2019): Homotopy and renormalization group approaches for strongly correlated systems. Dissertation, LMU München: Faculty of Physics
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Abstract

Diese Dissertation beschäftigt sich mit der Entwicklung und Anwendung feldtheoretischer Methoden zur Untersuchung stark korrelierter Vielteilchensysteme. In diesen stark korrelierten Systemen treten aufgrund des kollektiven Verhaltens der einzelnen Freiheitsgrade neue physikalische Effekte auf. Das theoretische Verstaändnis dieser Systeme erfordert häufig computergestützte Rechenverfahren zur Lösung von interagierenden Vielteilchenmodellen frei von jedweden Approximationen. Im ersten Teil der Arbeit verwenden wir klassische Monte-Carlo-Simulationen in Kombination mit einem Renormalisierungsgruppenansatz, um die Existenz der “scratched”-XY-Universalitätsklasse eindeutig zu beweisen. Diese Universalitätsklasse beschreibt den kontinuierlichen Phasenübergang aus einer kritischen suprafluiden Phase in Systemen, welche eine zweidimensionale hydrodynamische Beschreibung erlauben, durch einen Mechanismus grundlegend verschieden von dem Berezinskii-Kosterlitz-Thouless Scenario, welches von topologischen Defekten getrieben wird. Dazu untersuchen wir den suprafluiden Phasenübergang bei endlicher Temperatur in einem modifizierten, zweidimensionalen, klassischen XY-Modell mit eindimensionalen Störstellen deren Stärken nach einem Potenzgesetz verteilt sind. Wenn der Exponent abnimmt, nimmt die Be- deutung der Störstellen zu und der Mechanismus, welcher den Phasenübergang treibt, wechselt von der Proliferation von Vortex–Anti-Vortex Paaren zu der “scratched”-XY-Kritikalität, welche durch einen nicht universellen Sprung des suprafluiden Responsekoeffizienten gekennzeichnet ist. Die Existenz der “scratched”-XY-Kritikalität bei endlicher Temperatur und ihre Beschreibung durch eine asymptotisch exakte Semi-Renormalisierungsgruppentheorie, welche zuvor für den Suprafluid-Isolator Phasenübergang in eindimensionalen Quantensystemen mit starken Störstellen entwickelt wurde, wird numerisch in einem speziell dafür entworfenen Modell bewiesen, welches minimale Korrekturen durch endliche Systemgrößen aufweist. Im zweiten Teil der Dissertation wird ein neuer analytischer sowie rechnerischer Ansatz zur Untersuchung stark korrelierter Vielteilchensysteme entwickelt. Anstatt die Lösung von Vielteilchenmodellen ausgehend von einem funktionalem Integral aufzubauen, wie z.B. in Pfadintegral-Quantum-Monte-Carlo-Simulationen und diagrammatischen Monte-Carlo-Berechnungen, schlagen wir die Verwendung funktionaler Integro-Differentialgleichungen vor, welche ausgehend von der Dyson-Schwinger-Gleichung hergeleitet werden. Diese funktionale Integro-Differentialgleichung wird ohne jedwede Approximation mit einem Homotopie-Ansatz gelöst, insbesondere wird dabei die “homotopy analysis method” eingeführt. In diesem Ansatz gibt es die Möglichkeit, die funktionalen Ableitungen exakt zu behandeln und damit leistungsfähige Reihenentwicklungen durchzuführen, welche sich grundlegend von herkömmlichen Reihenentwicklungen in der Strörungstheorie unterscheiden, d.h., die resultierende Homotopieserie überwindet die üblichen Paradigmen störungstheoretischer Ansätze in der Quantenfeldtheorie. Auf diese Weise können wir eine vollständige Lösung der Dyson-Schwinger-Gleichung für das φ4 Modell auf einem zwei dimensionalem Gitter in seinem stark korrelierten Bereich nahe eines Phasenübergangs zweiter Ordnung erzielen. Um zu diesem Ergebnis ohne jedwede Vereinfachung zu gelangen, entwickeln wir die Expansion der “homotopy analysis method” in Form von Baumdiagrammen, welches das Speicherproblem von Korrelationsfunktionen höherer Ordnung, wie z.B. der Vier-Punkt-Vertexfunktion, löst. In Analogie zu diagrammatischen Monte-Carlo Algorithmen führen wir einen Monte-Carlo-Algorithmus ein, um alle möglichen Baumdiagramme aufzusummieren, sodass die Homotopieserie auch zu höheren Ordungen ausgewertet werden kann.

Abstract

This thesis deals with the development and application of quantum field theoretic methods for the study of strongly correlated many-body systems. In these strongly correlated systems new physical effects arise due to the collective behavior of its individual constituents. The theoretical understanding of these systems often calls for first-principles computational approaches. In the first part of the thesis we use classical Monte Carlo simulations together with a renormalization group approach to unambiguously establish the existence of the scratched-XY universality class. This universality class describes the destruction of the critical superfluid phase in systems which allow for a two dimensional hydrodynamic description by a mechanism fundamentally different from the proliferation of topological defects. For that we study the finite-temperature superfluid transition in a modified two dimensional classical XY model with power-law distributed “scratch”-like bond disorder. As its exponent decreases, the disorder grows stronger and the mechanism driving the superfluid transition changes from conventional vortex-pair unbinding to a strong randomness criticality (termed scratched-XY criticality) characterized by a non-universal jump of the superfluid stiffness. The existence of the scratched-XY criticality at finite temperature and its description by an asymptotically exact semi-renormalization group theory, previously developed for the superfluid-insulator transition in one-dimensional disordered quantum systems, is numerically proven by designing a model with minimal finite size effects. In the second part of the thesis we develop a new analytical and computational approach for the study of strongly correlated many-body systems. Instead of setting up many-body calculations in a functional integral approach as, e.g., in path integral Quantum Monte Carlo simulations and diagrammatic Monte Carlo calculations, we propose the use of functional integro-differential equations obtained from the Dyson-Schwinger equation. This functional integro-differential equation is solved beyond any truncation scheme using a homotopy approach, in particular the homotopy analysis method. It gives the possibility to treat the functional derivatives exactly and provides a powerful series expansion technique fundamentally different from perturbation theory, i.e., the resulting homotopy series overcomes the usual paradigms of perturbative calculations in field theory. In that way we provide a full and unbiased solution to the Dyson-Schwinger equation beyond any truncation scheme illustrated for φ4 theory on a two dimensional square lattice in its strongly correlated regime close to a second-order phase transition. In order to arrive at this result we develop the expansion of the homotopy analysis method in terms of rooted tree diagrams. This also solves the storage problem of higher-order correlation functions, e.g., the four-point vertex function. Moreover, in the same spirit as diagrammatic Monte Carlo algorithms are used to sum up all connected Feynman diagrams, we introduce a Monte Carlo algorithm to sum up all possible rooted tree diagrams which allows us to evaluate the homotopy series to higher orders.