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Geometric description of scattering amplitudes. exploring the amplituhedron
Geometric description of scattering amplitudes. exploring the amplituhedron
Die vorliegende Dissertation befasst sich mit einigen der neuesten Entwicklungen im Themengebiet der Streuamplituden in schwach gekoppelten Eichtheorien. Der traditionelle störungstheoretische Zugang, der Feynman-Diagramme verwendet, hat sich durchgesetzt und großen Erfolg erzielt, jedoch er ist zunehmend ungeeignet geworden, um mit der Komplexität der Präzisionsberechnungen umzugehen, die heutzutage benötigt sind. Neue Techniken, die zusammenfassend als on-shell Methoden bezeichnet werden, sind entwickelt worden, um die Nachteile und Engpasse dieses Zugangs zu vermeiden. Sie enthüllten eine inhärente (und manchmal unerwartete) Einfachheit der Streuamplituden, oft in Verbindung zur Symmetrien; daneben, erlaubten sie die Entwicklung eines grundverschiedenen, geometrischen Verständnis von Amplituden, bei dem Grassmann-Mannigfaltigkeiten eine zentrale Rolle spielen. Dieses Programm hat sich sehr gut im Rahmen eines speziellen Modells bewährt, der planaren N = 4 super Yang-Mills Theorie. Im Jahr 2013 ist eine bemerkenswerte Vermutung vorgelegt worden, die besagt, dass jede Amplitude ist insgeheim das Volumen eines verallgemeinerten Polytops, das Amplituhedron heißt. In dieser Doktorarbeit, untersuchen wir, nach einer detaillierten Einführung in die on-shell Methoden, den Amplituhedron-Vorschlag ausführlich auf Baumniveau und wir berichten über mehrere Ergebnisse, die zusammen mit anderen Mitarbeitern erreicht worden sind. Wir führen eine Formel ein, die NMHV-Baumniveau Volumenfunktionen als Integrale über eine duale Grassmann-Mannigfaltigkeit darstellt, und damit Triangulationen des Amplituhedrons vermeidet; dann leiten wir eine i\eps-Vorschrift her, die uns erlaubt, sie als Summe von Residuen eines Grassmannschen Integrals aufzubauen, das im Geiste ähnlich zu dem für Amplituden relevanten ist. Anschließend, angeregt von den Schwierigkeiten bei der Verallgemeinerung unserer Ergebnisse, suchen wir nach einer Realisation der Yangschen Symmetrie im Rahmen des Amplituhedrons. Wir zeigen, dass mit den Volumenfunktionen eng verwandte Objekte wirklich invariant unter den Transformationen des Yangians Y(gl(m + k)) sind und denken über die Implikationen davon nach., This dissertation is concerned with some of the most recent developments in the understanding of gauge theory scattering amplitudes at weak coupling. The traditional perturbative approach in terms of Feynman diagrams is well established and has achieved great triumphs, however it has become increasingly unsuited to handle the complexity of the precision calculations needed nowadays. In looking for new ways to avoid its drawbacks and bottlenecks, new techniques have been developed, collectively going under the name of on-shell methods. Beyond unveiling an inherent (and at times unexpected) simplicity of scattering amplitudes - often in connection to symmetries - they helped the rise of a radically different, geometric understanding of them, in which Grassmannian manifolds play a central role. This program has proven very successful in the context of a special model, planar N = 4 super Yang-Mills theory. In 2013 a striking conjecture was put forward, stating that every amplitude is secretly the volume of a generalised polytope, called the amplituhedron. In this thesis, after providing a broad introduction about on-shell methods, we investigate this proposal at tree-level in detail and report on several new results that were obtained in collaboration with other authors. In particular, we present a closed formula for expressing NMHV tree-level volume functions as integrals over a dual Grassmannian, avoiding triangulations of the amplituhedron; we subsequently derive an i\eps-prescription that allows to alternatively construct them as a sum of residues of a Grassmannian integral, similar in spirit to the one relevant for scattering amplitudes. Motivated by the difficulties in moving to more general tree-level volume functions, we then look for a realisation of Yangian symmetry in the framework of the amplituhedron. We prove that objects closely related to the volume functions are in fact invariant under the Yangian Y(gl(m+ k)) and ponder on the implications of this result.
Gauge theory, Scattering amplitudes, On-shell methods, Amplituhedron
Orta, Andrea
2017
English
Universitätsbibliothek der Ludwig-Maximilians-Universität München
Orta, Andrea (2017): Geometric description of scattering amplitudes: exploring the amplituhedron. Dissertation, LMU München: Faculty of Physics
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Licence: Creative Commons: Attribution-ShareAlike 4.0 (CC-BY-SA)
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Abstract

Die vorliegende Dissertation befasst sich mit einigen der neuesten Entwicklungen im Themengebiet der Streuamplituden in schwach gekoppelten Eichtheorien. Der traditionelle störungstheoretische Zugang, der Feynman-Diagramme verwendet, hat sich durchgesetzt und großen Erfolg erzielt, jedoch er ist zunehmend ungeeignet geworden, um mit der Komplexität der Präzisionsberechnungen umzugehen, die heutzutage benötigt sind. Neue Techniken, die zusammenfassend als on-shell Methoden bezeichnet werden, sind entwickelt worden, um die Nachteile und Engpasse dieses Zugangs zu vermeiden. Sie enthüllten eine inhärente (und manchmal unerwartete) Einfachheit der Streuamplituden, oft in Verbindung zur Symmetrien; daneben, erlaubten sie die Entwicklung eines grundverschiedenen, geometrischen Verständnis von Amplituden, bei dem Grassmann-Mannigfaltigkeiten eine zentrale Rolle spielen. Dieses Programm hat sich sehr gut im Rahmen eines speziellen Modells bewährt, der planaren N = 4 super Yang-Mills Theorie. Im Jahr 2013 ist eine bemerkenswerte Vermutung vorgelegt worden, die besagt, dass jede Amplitude ist insgeheim das Volumen eines verallgemeinerten Polytops, das Amplituhedron heißt. In dieser Doktorarbeit, untersuchen wir, nach einer detaillierten Einführung in die on-shell Methoden, den Amplituhedron-Vorschlag ausführlich auf Baumniveau und wir berichten über mehrere Ergebnisse, die zusammen mit anderen Mitarbeitern erreicht worden sind. Wir führen eine Formel ein, die NMHV-Baumniveau Volumenfunktionen als Integrale über eine duale Grassmann-Mannigfaltigkeit darstellt, und damit Triangulationen des Amplituhedrons vermeidet; dann leiten wir eine i\eps-Vorschrift her, die uns erlaubt, sie als Summe von Residuen eines Grassmannschen Integrals aufzubauen, das im Geiste ähnlich zu dem für Amplituden relevanten ist. Anschließend, angeregt von den Schwierigkeiten bei der Verallgemeinerung unserer Ergebnisse, suchen wir nach einer Realisation der Yangschen Symmetrie im Rahmen des Amplituhedrons. Wir zeigen, dass mit den Volumenfunktionen eng verwandte Objekte wirklich invariant unter den Transformationen des Yangians Y(gl(m + k)) sind und denken über die Implikationen davon nach.

Abstract

This dissertation is concerned with some of the most recent developments in the understanding of gauge theory scattering amplitudes at weak coupling. The traditional perturbative approach in terms of Feynman diagrams is well established and has achieved great triumphs, however it has become increasingly unsuited to handle the complexity of the precision calculations needed nowadays. In looking for new ways to avoid its drawbacks and bottlenecks, new techniques have been developed, collectively going under the name of on-shell methods. Beyond unveiling an inherent (and at times unexpected) simplicity of scattering amplitudes - often in connection to symmetries - they helped the rise of a radically different, geometric understanding of them, in which Grassmannian manifolds play a central role. This program has proven very successful in the context of a special model, planar N = 4 super Yang-Mills theory. In 2013 a striking conjecture was put forward, stating that every amplitude is secretly the volume of a generalised polytope, called the amplituhedron. In this thesis, after providing a broad introduction about on-shell methods, we investigate this proposal at tree-level in detail and report on several new results that were obtained in collaboration with other authors. In particular, we present a closed formula for expressing NMHV tree-level volume functions as integrals over a dual Grassmannian, avoiding triangulations of the amplituhedron; we subsequently derive an i\eps-prescription that allows to alternatively construct them as a sum of residues of a Grassmannian integral, similar in spirit to the one relevant for scattering amplitudes. Motivated by the difficulties in moving to more general tree-level volume functions, we then look for a realisation of Yangian symmetry in the framework of the amplituhedron. We prove that objects closely related to the volume functions are in fact invariant under the Yangian Y(gl(m+ k)) and ponder on the implications of this result.