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Entanglement through interfaces and toy models of holography
Entanglement through interfaces and toy models of holography
This thesis is dedicated to the analysis of correlation structure in two quite different ex-amples. In the first one we investigate the entanglement entropy (EE) through conformal inter-faces in two-dimensional conformal field theories. The EE is a measure for the strength of entanglement between two subsystems of a system in a pure state. Interfaces are one-dimensional objects on a two-dimensional surface along which two conformal field theories are glued together. They are called conformal if their gluing conditions is invariant under conformal transformations that preserve the shape of the interface. Special interfaces are topological ones. They are called topological because the partition function does not change when the interface is continuously deformed. We in particular show that in a vast class of conformal field theories the presence of a topological interface at the boundary between two subregions makes the EE get dressed with an additional sub-leading but universal contribution that solely depends on the interface data. This sub-leading contribution can be interpreted as a relative entropy measuring the relative loss of entanglement compared to no interface insertion. We also compute the EE through general conformal interfaces in the critical Ising model and find that its leading order is affected by the interfaces if and only if it is not topological. Any conformal defect can be characterized by its transmissivity. As physically expected, the EE though conformal interfaces in the Ising model decreases for lower transmissivities. The second example is what we call classical holographic codes. They are classical probabilistic codes defined by a network on a uniform tiling of a constant time slice of AdS 3 -spacetime. They share some remarkable properties with certain quantum error correcting codes that are designed to mimic particular properties of the AdS/CFT correspondence. Under these features are the Ryu-Takayanagi formula and bulk reconstruction properties that both reflect deep connections between the correlation structure of a theory and the ge- ometry of its dual description. Our classical codes can be seen as toy models for holography that show that the latter features do not necessarily originate from a quantum description., In dieser Arbeit analysieren wir Korrelationsstrukturen in zwei unterschiedlichen Beispielen. Im ersten behandeln wir die “Entanglement Entropie” (EE) durch Defekte in zweidimensionalen konformen Feldtheorien. Die EE is ein Maß für die Quantenverschränkung zwischen zwei Untersystemen eines Systems, das durch einen reinen Zustand beschrieben wird. Defekte sind eindimensionale Objekte auf einer zweidimensionalen Fläche entlang derer konforme Feldtheorien verklebt werden können. Sie werden konform genannt, wennihre Eigenschaften invariant unter jenen konformen Transformationen sind, die die Form des Defektes nicht verändern. Topologische Defekte bilden eine besondere Klasse. Sie sind dadurch definiert, dass kontinuierlichen Deformationen keinen Effekt auf die Zustandssumme des Systems haben. Wir zeigen in dieser Arbeit, dass in einer großen Klasse von konformen Feldtheorien die EE durch topologischen Defekt das Ergebnis ohne Defekt um einen universellen Term nicht führender Ordnung ergänzt. Dieser hängt nur von den Defektdaten ab und kann als relative Entropie interpretiert werden, die den Verlust an Ver- schränkung relativ zur Situation ohne Defekt misst. Wir berechnen zudem die EE durch beliebige konforme Defekte des kritischen Isingmodells. Diese können insbesondere durch ihre Transmissivität charakterisiert werden. Wir können zeigen, dass nicht-topologische Defekte auch die führende Ordnung der EE beeinflussen und dass sie, wie es physikalisch zu erwarten ist, für niedrigere Werte der Transmissivität sinkt. Beim zweiten Beispiel handelt es sich um spezielle Systeme, die wir klassische holografische Codes nennen. Man kann sie als probabilistische klassische Codes realisieren, die durch ein Netzwerk auf einer uniformen Abdeckung eines Schnitts entlang konstanter Zeit durch einen AdS 3 -Raum definiert sind. Erstaunlicherweise teilen sie einige Eigenschaften mit speziellen Quantencodes zur Fehlerkorrektur, die wiederum spezielle Eigenschaften holographischer Theorien und im besonderen der AdS/CFT Korrespondenz mimen. Unsere klassischen Codes zeigen, dass Eigenschaften wie die Ryu-Takayanagi-Formel und Rekonstruktioneigenschaften, die beide eine Verbindung zwischen der Korrelationsstruktur einer Theorie und der Geometrie ihrer dualen Beschreibung aufzeigen, nicht notwendigerweise von einer Quantenbeschreibung herrühren.
conformal field theory, defects, interfaces, entanglement, entropy, correlation, holography, toy models
Brehm, Enrico
2017
English
Universitätsbibliothek der Ludwig-Maximilians-Universität München
Brehm, Enrico (2017): Entanglement through interfaces and toy models of holography. Dissertation, LMU München: Faculty of Physics
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Abstract

This thesis is dedicated to the analysis of correlation structure in two quite different ex-amples. In the first one we investigate the entanglement entropy (EE) through conformal inter-faces in two-dimensional conformal field theories. The EE is a measure for the strength of entanglement between two subsystems of a system in a pure state. Interfaces are one-dimensional objects on a two-dimensional surface along which two conformal field theories are glued together. They are called conformal if their gluing conditions is invariant under conformal transformations that preserve the shape of the interface. Special interfaces are topological ones. They are called topological because the partition function does not change when the interface is continuously deformed. We in particular show that in a vast class of conformal field theories the presence of a topological interface at the boundary between two subregions makes the EE get dressed with an additional sub-leading but universal contribution that solely depends on the interface data. This sub-leading contribution can be interpreted as a relative entropy measuring the relative loss of entanglement compared to no interface insertion. We also compute the EE through general conformal interfaces in the critical Ising model and find that its leading order is affected by the interfaces if and only if it is not topological. Any conformal defect can be characterized by its transmissivity. As physically expected, the EE though conformal interfaces in the Ising model decreases for lower transmissivities. The second example is what we call classical holographic codes. They are classical probabilistic codes defined by a network on a uniform tiling of a constant time slice of AdS 3 -spacetime. They share some remarkable properties with certain quantum error correcting codes that are designed to mimic particular properties of the AdS/CFT correspondence. Under these features are the Ryu-Takayanagi formula and bulk reconstruction properties that both reflect deep connections between the correlation structure of a theory and the ge- ometry of its dual description. Our classical codes can be seen as toy models for holography that show that the latter features do not necessarily originate from a quantum description.

Abstract

In dieser Arbeit analysieren wir Korrelationsstrukturen in zwei unterschiedlichen Beispielen. Im ersten behandeln wir die “Entanglement Entropie” (EE) durch Defekte in zweidimensionalen konformen Feldtheorien. Die EE is ein Maß für die Quantenverschränkung zwischen zwei Untersystemen eines Systems, das durch einen reinen Zustand beschrieben wird. Defekte sind eindimensionale Objekte auf einer zweidimensionalen Fläche entlang derer konforme Feldtheorien verklebt werden können. Sie werden konform genannt, wennihre Eigenschaften invariant unter jenen konformen Transformationen sind, die die Form des Defektes nicht verändern. Topologische Defekte bilden eine besondere Klasse. Sie sind dadurch definiert, dass kontinuierlichen Deformationen keinen Effekt auf die Zustandssumme des Systems haben. Wir zeigen in dieser Arbeit, dass in einer großen Klasse von konformen Feldtheorien die EE durch topologischen Defekt das Ergebnis ohne Defekt um einen universellen Term nicht führender Ordnung ergänzt. Dieser hängt nur von den Defektdaten ab und kann als relative Entropie interpretiert werden, die den Verlust an Ver- schränkung relativ zur Situation ohne Defekt misst. Wir berechnen zudem die EE durch beliebige konforme Defekte des kritischen Isingmodells. Diese können insbesondere durch ihre Transmissivität charakterisiert werden. Wir können zeigen, dass nicht-topologische Defekte auch die führende Ordnung der EE beeinflussen und dass sie, wie es physikalisch zu erwarten ist, für niedrigere Werte der Transmissivität sinkt. Beim zweiten Beispiel handelt es sich um spezielle Systeme, die wir klassische holografische Codes nennen. Man kann sie als probabilistische klassische Codes realisieren, die durch ein Netzwerk auf einer uniformen Abdeckung eines Schnitts entlang konstanter Zeit durch einen AdS 3 -Raum definiert sind. Erstaunlicherweise teilen sie einige Eigenschaften mit speziellen Quantencodes zur Fehlerkorrektur, die wiederum spezielle Eigenschaften holographischer Theorien und im besonderen der AdS/CFT Korrespondenz mimen. Unsere klassischen Codes zeigen, dass Eigenschaften wie die Ryu-Takayanagi-Formel und Rekonstruktioneigenschaften, die beide eine Verbindung zwischen der Korrelationsstruktur einer Theorie und der Geometrie ihrer dualen Beschreibung aufzeigen, nicht notwendigerweise von einer Quantenbeschreibung herrühren.