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Rinaldi, Davide (2014): Formal methods in the theories of rings and domains. Dissertation, LMU München: Fakultät für Mathematik, Informatik und Statistik
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Abstract

In recent years, Hilbert's Programme has been resumed within the framework of constructive mathematics. This undertaking has already shown its feasability for a considerable part of commutative algebra. In particular, point-free methods have been playing a primary role, emerging as the appropriate language for expressing the interplay between real and ideal in mathematics. This dissertation is written within this tradition and has Sambin's notion of formal topology at its core. We start by developing general tools, in order to make this notion more immediate for algebraic application. We revise the Zariski spectrum as an inductively generated basic topology, and we analyse the constructive status of the corresponding principles of spatiality and reducibility. Through a series of examples, we show how the principle of spatiality is recurrent in the mathematical practice. The tools developed before are applied to specific problems in constructive algebra. In particular, we find an elementary characterization of the notion of codimension for ideals of a commutative ring, by means of which a constructive version of Krull's principal ideal theorem can be stated and proved. We prove a formal version of the projective Eisenbud-Evans-Storch theorem. Finally, guided by the algebraic intuition, we present an application in constructive domain theory, by proving a finite version of Kleene-Kreisel density theorem for non-flat information systems.

Abstract

In den vergangenen Jahren wurde das Hilbertsche Programm im Rahmen der konstruktiven Mathematik wiederaufgenommen. Diese Unternehmung hat sich vor allem in der kommutativen Algebra als praktikabel erwiesen. Insbesondere spielen punktfreie Methoden eine wesentliche Rolle: sie haben sich als die angemessene Sprache herausgestellt, um das Zwischenspiel von "real'" und "ideal" in der Mathematik auszudrücken. Die vorliegende Dissertation steht in dieser Tradition; zentral ist Sambins Begriff der formalen Topologie. Zunächst entwickeln wir ein allgemeines Instrumentarium, das geeignet ist, diesen Begriff seinen algebraischen Anwendungen näherzubringen. Sodann arbeiten wir das Zariski-Spektrum in eine induktiv erzeugte "basic topology" um und analysieren den konstruktiven Status der einschlägigen Varianten von Spatialität und Reduzibilität. Durch Angabe einer Reihe von Instanzen zeigen wir, wie häufig das Prinzip der Spatialität in der mathematischen Praxis vorkommt. Die eigens entwickelten Werkzeuge werden schließlich auf spezifische Probleme aus der konstruktiven Algebra angewandt. Insbesondere geben wir eine elementare Charakterisierung der Kodimension eines Ideals in einem kommutativen Ring an, mit der eine konstruktive Fassung des Krullschen Hauptidealsatzes formuliert und bewiesen werden kann. Ferner beweisen wir eine formale Fassung des Satzes von Eisenbud-Evans-Storch im projektiven Fall. Geleitet von der algebraischen Intuition stellen wir zuletzt eine Anwendung in der konstruktiven Bereichstheorie vor, indem wir eine finite Variante des Dichtheitssatzes von Kleene und Kreisel für nicht-flache Informationssysteme beweisen.