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Vona, Nicola (2014): On time in quantum mechanics. Dissertation, LMU München: Fakultät für Mathematik, Informatik und Statistik
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Abstract

Although time measurements are routinely performed in laboratories, their theoretical description is still an open problem. Similarly, also the validity and the status of the energy-time uncertainty relation is unsettled. In the first part of this work the necessity of positive operator valued measures (POVM) as descriptions of every quantum experiment is reviewed, as well as the suggestive role played by the probability current in time measurements. Furthermore, it is shown that no POVM exists, which approximately agrees with the probability current on a very natural set of wave functions; nevertheless, the choice of the set is crucial, and on more restrictive sets the probability current does provide a good arrival time prediction. Some ideas to experimentally detect quantum effects in time measurements are discussed. In the second part of the work the energy-time uncertainty relation is considered, in particular for a model of alpha decay for which the variance of the energy can be calculated explicitly, and the variance of time can be estimated. This estimate is tight for systems with long lifetimes, in which case the uncertainty relation is shown to be satisfied. Also the linewidth-lifetime relation is shown to hold, but contrary to the common expectation, it is found that the two relations behave independently, and therefore it is not possible to interpret one as a consequence of the other. To perform the mentioned analysis quantitative scattering estimates are necessary. To this end, bounds of the form $\|\1_Re^{-iHt}\psi\|_2^2 \leq C t^{-3}$ have been derived, where $\psi$ denotes the initial state, $H$ the Hamiltonian, $R$ a positive constant, and $C$ is explicitly known. As intermediate step, bounds on the derivatives of the $S$-matrix in the form $\|\1_K S^{(n)}\|_\infty \leq C_{n,K} $ have been established, with $n=1,2,3$, and the constants $C_{n,K}$ explicitly known.

Abstract

Obwohl Zeitmessungen tagtäglich in vielen Laboren durchgeführt werden, ist ihre theoretische Beschreibung noch unklar. Gleichermaßen sind Gültigkeit und Bedeutung der Energie-Zeit-Unschärfe ungeklärt. Der erste Teil dieser Arbeit diskutiert die Notwendigkeit von positive operator valued measures (POVM) zur Beschreibung von allen Quantenexperimenten, sowie die bedeutende Rolle des Wahrscheinlichkeitsstroms in Zeitmessungen. Außerdem, wird gezeigt, dass kein POVM existiert, der den Wahrscheinlichkeitsstrom jeder Wellenfunktion in einer natürlichen Menge annähert. Die Wahl dieser Menge ist aber entscheidend, und auf beschränkten Mengen ist der Wahrscheinlichkeitsstrom eine gute Vorhersage für Zeitmessungen. Einige Ideen sind diskutiert, wie man Zeitexperimente durchführen kann, um Quanteneffekten zu detektieren. Der zweite Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit der Energie-Zeit-Unschärfe, insbesondere für ein Modell von Alpha-Zerfall, wobei man die Energievarianz explizit berechnen kann, und die Zeitvarianz abschätzt. Diese Abschätzung ist für Systeme mit langen Lebensdauern gut, und in diesem Fall wird gezeigt, dass die Energie-Zeit-Unschärfe gilt. Ebenso wird gezeigt, dass die linewidth-lifetime relation gilt. Im allgemein wird angenommen, dass diese zwei Relationen dieselben sind. Im Gegensatz dazu, wird in der Dissertation aber gezeigt, dass sie sich unabhängig voneinander verhalten. Für diese Resultate, braucht man quantitative Streuabschätzungen. Zu diesem Zweck werden Schranken in der Form $\|\1_Re^{-iHt}\psi\|_2^2 \leq C t^{-3}$ in der Dissertation gezeigt, wo $\psi$ der Anfangszustand ist, $H$ der Hamiltonoperator, $R$ eine positive Konstante, und $C$ explizit bekannt ist. Als Zwischenschritt werden Schranken für die Ableitungen der $S$-Matrix in der Form $\|\1_K S^{(n)}\|_\infty \leq C_{n,K} $ bewiesen, wobei $n=1,2,3$, und die Konstanten $C_{n,K}$ explizit bekannt sind.