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Dinkelbach, Jonathan (2008): Equivariant Ricci-Flow with Surgery. Dissertation, LMU München: Faculty of Mathematics, Computer Science and Statistics
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Abstract

In dieser Arbeit untersuchen wir Perelmans Ricci-Fluss mit Chirurgie auf geschlossenen 3–Mannigfaltigkeiten, deren Ausgangsmetrik invariant unter einer vorgegebenen glatten Wirkung einer endlichen Gruppe ist. Eine solche Metrik kann stets durch Mittelung einer beliebigen Riemannschen Metrik erzeugt werden, und wegen der Eindeutigkeit des Ricci-Flusses bleibt dieser bis zum Auftreten von Singularitäten invariant unter der Gruppenwirkung. Die technische Schwierigkeit besteht nun darin, Symmetrien der evolvierenden Metrik zu kontrollieren, wenn sich der Fluss einer Singularität nähert. Zu diesem Zweck konstruieren wir eine invariante singuläre S²–Blätterung auf dem Bereich der Mannigfaltigkeit, der von der Chirurgie betroffen ist. Insbesondere ermöglicht es diese, den Chirurgieprozess äquivariant durchzuführen und die Gruppenwirkung auf solchen Komponenten zu analysieren, die bei der Chirurgie komplett entfernt werden. Darüber hinaus lässt sich mit Hilfe der Blätterung beschreiben, wie die Gruppenwirkungen vor und nach der Chirurgie zusammenhängen. Dadurch lassen sich aus dem Langzeitverhalten des Ricci-Flusses und der Gruppenwirkung Rückschlüsse auf die ursprüngliche Wirkung ziehen. Als Anwendung zeigen wir, dass jede glatte endliche Gruppenwirkung auf einer geschlossenen geometrischen 3–dimensionalen Mannigfaltigkeit mit sphärischer, hyperbolischer oder (S²×R)–Geometrie verträglich mit der geometrischen Struktur ist, dass also eine invariante vollständige lokalhomogene Riemannsche Metrik existiert. Dies löst eine von William Thurston aufgestellte Frage zu Gruppenwirkungen auf geometrischen 3–Mannigfaltigkeiten, die für die übrigen fünf Geometrien bereits von Meeks und Scott gelöst wurde.

Abstract

In this thesis we study Perelman’s Ricci-flow with surgery on closed 3–manifolds on which the initial metric is invariant under a given smooth finite group action. Such a metric can always be obtained by averaging an arbitrary metric, and due to its uniqueness the Ricci-flow stays invariant until the first singular time. The main technical difficulty is to control the symmetries of the evolving metric when the flow approaches a singular time. In order to get such a control, we construct an invariant singular S²–foliation on the part of the manifold which is affected by the surgery. In particular this foliation enables us to perform the surgery process in an equivariant way and to analyze the action on those components which get extinct at the surgery time, since they are completely covered by the foliation. Moreover, it relates the group actions before and after a surgery. Thus, we can conclude properties of the initial group action from the long time behavior of the equivariant flow. As an application we show that any smooth finite group action on a closed geometric 3-manifold with spherical, hyperbolic or (S²×R)–geometry is compatible with the geometric structure, i. e. there exists an invariant complete locally homogeneous Riemannian metric. This solves a question of William Thurston for smooth group actions on geometric 3–manifolds, which was proved for the other five geometries by Meeks and Scott.