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Wachter, Hartmut (2004): Elemente einer q-Analysis für physikalisch relevante Quantenräume. Dissertation, LMU München: Faculty of Physics
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Abstract

In dieser Arbeit betrachten wir spezielle Quantenräume, die für die Physik eine besondere Bedeutung haben könnten. Zu diesen zählen der q-deformierte Euklidische Raum mit drei bzw. vier Dimensionen sowie der q-deformierte Minkowski Raum. Für jeden dieser Räume konstruieren wir die zur Formulierung physikalischer Theorien wichtigen Elemente einer q-Analysis, die als eine mehrdimensionale Verallgemeinerung des bekannten q-Kalküls für q-Funktionen angesehen werden kann. Diese Elemente ermöglichen in ihrer Gesamtheit ein modulares Konzept, das die Basis zur Reformulierung bekannter physikalischer Theorien bilden kann und gleichzeitig deren numerische Auswertung erlaubt. Zu diesem Zweck werden die nichtkommutativen Quantenräume durch Vereinbarung einer Normalordnung mit kommutativen Räumen identifiziert. Für diese kommutativen Räumen berechnen wir das Sternprodukt zweier kommutativer Funktionen, die Operatordarstellungen für die partiellen Anleitungen des kovarianten Differentialkalküls und ebenso jene für die Generatoren der zugehörigen Quantenalgebren. Des Weiteren führen wir einen Integralbegriff ein, der als Umkehrung der Differentiation aufgefasst werden kann und daher die Formulierung translations- und rotationsinvarianter Integrale gestattet. Um Koordinatenfunktionen, die zu verschiedenen Quantenräume gehören, miteinander multiplizieren bzw. Tensorprodukte von Quantenräumen bilden zu können, berechnen wir ausserdem explizite Ausdrücke für das Zopfprodukt. Schliesslich betrachten wir die untersuchten Quantenräume in Anlehnung an S. Majid als verzopfte Hopf-Algebren und bestimmen explizite Ausdrücke für das Coprodukt und die Antipode allgemeiner Koordinatenfunktionen. Auf diese Weise gelangen wir zu einem mit der Quantengruppensymmetrie verträglichen Translationsbegriff, der ausserdem zu mehrdimensionalen Versionen der q-Taylor-Regeln führt. Als Letztes berechnen wir Verallgemeinerungen von q-Exponentialen, die in einem erweiterten Sinne Eigenfunktionen der Ableitungsoperatoren darstellen und somit als q-deformierte Versionen ebener Wellen aufgefasst werden können.