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Prähofer, Michael (2003): Stochastic Surface Growth. Dissertation, LMU München: Faculty of Physics
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Abstract

Growth phenomena constitute an important field in nonequilibrium statistical mechanics. Kardar, Parisi, and Zhang (KPZ) in 1986 proposed a continuum theory for local stochastic growth predicting scale invariance with universal exponents and limiting distributions. For a special, exactly solvable growth model (polynuclear growth - PNG) on a one-dimensional substrate (1+1 dimensional) we confirm the known scaling exponents and identify for the first time the limiting distributions of height fluctuations for different initial conditions (droplet, flat, stationary). Surprisingly, these so-called Tracy-Widom distributions have been encountered earlier in random matrix theory. The full stationary two-point function of the PNG model is calculated. Its scaling limit is expressed in terms of the solution to a special Rieman-Hilbert problem and determined numerically. By universality this yields a prediction for the stationary two-point function of (1+1)-dimensional KPZ theory. For the PNG droplet we show that the surface fluctuations converge to the so-called Airy process in the sense of joint distributions. Finally we discuss the theory for higher substrate dimensions and provide some Monte-Carlo simulations.

Abstract

Wachstumsphänomene stellen ein wichtiges Teilgebiet der statistischen Mechanik des Nichtgleichgewichts dar. Die 1986 von Kardar, Parisi und Zhang (KPZ) vorgeschlagene Kontinuumstheorie sagt für lokales stochastisches Wachstum Skaleninvarianz mit universellen Exponenten und Grenzverteilungen vorher. Für ein spezielles, exakt lösbares, Wachstumsmodell (polynuclear growth - PNG) auf eindimensionalem Substrat (1+1 dimensional) werden die bekannten Skalenexponenten bestätigt und die Grenzverteilungen der Höhenfluktuationen bei verschiedenen Anfangsbedingungen (Tropfen, flach, stationär) erstmals identifiziert. Überraschenderweise sind diese sogenannten Tracy-Widom-Verteilungen aus der Theorie der Zufallsmatrizen bekannt. Die volle stationäre Zweipunkt-Funktion des PNG-Modells wird berechnet. Im Skalenlimes wird sie durch die Lösung eines speziellen Riemann-Hilbert-Problems ausgedrückt und numerisch bestimmt. Auf Grund der erwarteten Universalität erhält man somit eine Vorhersage für die stationäre Zweipunkt-Funktion der (1+1)-dimensionalen KPZ-Theorie. Für die Tropfengeometrie wird gezeigt, dass die Oberflächenfluktuationen im Sinne gemeinsamer Verteilungen gegen den sogenannten Airy-Prozess konvergieren. Schliesslich wird die Theorie für höhere Substratdimensionen diskutiert und durch Monte-Carlo-Simulationen ergänzt.