Diagrammatic approach to frustrated spin systems

Schneider, Benedikt Valentin (2025): Diagrammatic approach to frustrated spin systems. Dissertation, LMU München: Faculty of Physics

Abstract

This thesis is devoted to diagrammatic frameworks for computing the dynamic structure factor (DSF) and the static susceptibility of spin systems at finite temperature in the thermodynamic limit. We consider two complementary diagrammatic frameworks. First, we study functional renormalization group (FRG) approaches based on pseudo-fermion (pf-FRG) and pseudo-Majorana (pm-FRG) representations. Second, we develop high-order strong-coupling and high-temperature expansions (HTE) using free and restricted-graph techniques. To enable finite-temperature calculations in pf-FRG, we eliminate unphysical states by incorporating the Popov–Fedotov trick. Within pm-FRG, we introduce a temperature-flow scheme that significantly improves the efficiency and accuracy of finite-size scaling analyses of thermal phase transitions. We further extend pm-FRG to include external magnetic fields, allowing treatment of XXZ models with a field along the z direction. While the pseudo-Majorana representation maps local spin-1/2 operators to free Majorana fermions, higher spin values S>1/2 can instead be represented as strongly interacting real bosons, an idea underlying the recently proposed spin-FRG. Rather than implementing the spin-FRG itself, we analyze its perturbation series using a strong-coupling expansion. To evaluate the high-dimensional imaginary-time integrals arising in this expansion analytically with efficient bookkeeping, we introduce the kernel trick, which rewrites any Matsubara diagram in terms of the partial spectral functions of its constituent Green’s functions. The resulting fourth-order strong-coupling expansion for general spin S provides systematic beyond-mean-field corrections to critical temperatures and fields in both 1/d and large-interaction-range expansions. More importantly, it provides an analytic explanation of the long-standing quantum-to-classical correspondence observed in diagrammatic Monte Carlo simulations: the normalized static susceptibilities of quantum and classical Heisenberg models coincide after a simple temperature rescaling. Our analysis shows that this arises from the fact that the static susceptibility is well approximated by a simple functional form akin to a mean-field susceptibility, which we call the renormalized-mean-field form. To reach higher orders, we generalize the HTE to Matsubara-frequency-resolved Green’s functions (Dyn-HTE). This includes the static susceptibility (at zero Matsubara frequency) as a special case and validates the renormalized-mean-field form up to 12th order in perturbation theory. By analytically continuing the frequency dependence obtained from Dyn-HTE using a continued-fraction expansion, we compute DSFs for one-parameter Heisenberg models on arbitrary lattices, which can be directly compared with experimental inelastic neutron-scattering spectra. All Dyn-HTE calculations are implemented in a publicly available, well-documented open-source code. Finally, we clarify the relation between pseudo-Majorana and spin-based diagrammatic approaches by deriving the exact pseudo-Majorana action directly from the spin Hamiltonian, without invoking any parton representation. This derivation paves the way for extending Majorana-based methods to higher-spin systems.

Abstract

Diese Arbeit widmet sich diagrammatischen Ansätzen zur Berechnung des dynamischen Strukturfaktors (DSF) und der statischen Suszeptibilität von Spinsystemen bei endlicher Temperatur im thermodynamischen Limes. Wir betrachten zwei komplementäre diagrammatische Methoden. Zunächst untersuchen wir Ansätze der funktionalen Renormierungsgruppe (FRG) auf der Grundlage von Pseudo-Fermion- (pf-FRG) und Pseudo-Majorana- (pm-FRG) Darstellungen. Zweitens entwickeln wir Wechselwirkungs- und Hochtemperatur-Entwicklungen (HTE) zu hohen Ordnungen unter Verwendung von freien und eingeschränkten Graphentechniken. Um Berechnungen bei endlicher Temperatur in pf-FRG zu ermöglichen, eliminieren wir unphysikalische Zustände durch die Einbeziehung des Popov-Fedotov-Tricks. Innerhalb von pm-FRG führen wir ein Temperatur-Fluss-Schema ein, das die Effizienz und Genauigkeit der Detektion thermischer Phasenübergänge bei Analysen der Skalierung unter Änderung der Systemgöße erheblich verbessert. Wir erweitern pm-FRG um externe Magnetfelder, wodurch die Behandlung von XXZ-Modellen mit einem Feld entlang der z-Richtung ermöglicht wird. Während die Pseudo-Majorana Darstellung lokale Spin-1/2-Operatoren auf freie Majorana-Fermionen abbildet, können höhere Spins S>1/2 stattdessen als stark wechselwirkende reelle Bosonen dargestellt werden, eine Idee, die der kürzlich vorgeschlagenen Spin-FRG zugrunde liegt. Anstatt Spin-FRG selbst zu implementieren, analysieren wir die Zugehörige Störungsreihe unter Verwendung einer Wechselwirkungsentwicklung. Um die in dieser Erweiterung auftretenden hochdimensionalen Imaginärzeitintegrale mit effizienter Buchführung analytisch zu berechnen, führen wir den Kernel Trick ein, der jedes Matsubaradiagramm in Form der partiellen Spektralfunktionen seiner konstituierenden greenschen Funktionen umschreibt. Die resultierende Wechselwirkungsreihe in vierter Ordnung für allgemeine Spinlängen S liefert systematische Korrekturen jenseits der Molekularfeldapproximation für kritische Temperaturen und Magnetfelder sowohl in Entwicklungen um große Dimensionen 1/d und lange Wechselwirkungsreichweiten. Noch wichtiger ist, dass sie eine analytische Erklärung für die seit Langem beobachtete Korrespondenz zwischen quantenmechanischen und klassischen Modellen liefert, die in diagrammatischen Monte-Carlo-Simulationen gefunden wurde: Die normierten statischen Suszeptibilitäten quantenmechanischer und klassischer Heisenberg-Modelle stimmen nach einer einfachen Temperaturskalierung überein. Unsere Analyse zeigt, dass dies darauf zurückzuführen ist, dass die statische Suszeptibilität gut durch eine einfache Funktionsform approximiert werden kann, die einer Molekularfeld-Suszeptibilität ähnelt und die wir als renormierte Molekularfeldform bezeichnen. Um höhere Ordnungen zu erreichen, verallgemeinern wir die HTE zu Matsubarafrequenzaufgelösten Greensche Funktionen (Dyn-HTE). Dies schließt die statische Suszeptibilität (bei verschwindender Matsubarafrequenz) als Sonderfall ein und validiert die renormierte Molekularfeldform bis zur 12.Ordnung in Störungstheorie. Durch die analytische Fortsetzung der aus Dyn-HTE erhaltenen Frequenzabhängigkeit unter Verwendung einer Kettenbruchentwicklung berechnen wir DSFs für Einparameter-Heisenbergmodelle auf beliebigen Gittern, die direkt mit experimentellen inelastischen Neutronenstreuspektren verglichen werden können. Alle Dyn-HTE-Berechnungen sind in einem öffentlich zugänglichen, gut dokumentierten open-source Code implementiert. Abschließend klären wir die Beziehung zwischen Pseudo-Majorana- und spinbasierten diagrammatischen Ansätzen, indem wir die exakte Pseudo-Majoranawirkung direkt aus dem Spin-Hamiltonoperator ableiten, ohne auf eine Parton-Darstellung zurückzugreifen. Diese Herleitung ebnet den Weg für die Erweiterung Majorana- basierter Methoden auf Systeme mit größerem Spin.

• Item Type: Theses (Dissertation, LMU Munich)
• Subjects: 500 Natural sciences and mathematics; 500 Natural sciences and mathematics > 530 Physics
• Faculties: Faculty of Physics
• Language: English
• Date of oral examination: 9. December 2025
• 1. Referee: Delft, Jan von
• Signature of the printed copy: 0001/UMC 31899