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Reisert, Pascal (2016): Moduli spaces of parabolic twisted generalized Higgs bundles. Dissertation, LMU München: Fakultät für Mathematik, Informatik und Statistik
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Abstract

In this thesis we study moduli spaces of decorated parabolic principal G-bundles on a compact Riemann surface X. In [Sch08] Alexander Schmitt constructed the moduli space of affine generalized Higgs bundles consisting of a principal G-bundle P on X and a global section into an associated vector bundle as a GIT-quotient. Affine Higgs bundles are generalizations of several well-studied objects, such as G-Higgs bundles, Bradlow pairs or quiver representations. In this work we generalize this GIT-construction of the moduli space of affine Higgs bundles to the case of affine parabolic Higgs bundles. A parabolic structure on P over a fixed finite subset S of punctures of the compact Riemann Surface X is given by reductions over S to parabolic subgroups of G. Our main result shows the existence of the resulting moduli space of decorated parabolic bundles as a quasi-projective scheme. The moduli space of parabolic G-Higgs bundles (see [Sim94]) is obtained from our construction by slight modifications of the semistability concept. Other important applications include the construction of a (generalized) projective Hitchin morphism into an affine scheme as well as an extension of the results of Nikolai Beck [Be14] on moduli spaces of pointwisely decorated principal bundles.

Abstract

In der vorliegenden Dissertation untersuchen wir Modulräume dekorierter parabolischer G-Hauptfaserbündel über einer kompakten Riemannschen Fläche X. Alexander Schmitt konstruiert in [Sch08] erstmals den Modulraum affiner Higgsbündel bestehend aus einem G-Hauptfaserbündel P über X sowie einem globalen Schnitt in ein assoziiertes Bündel als GIT-Quotient. Affine-Higgsbündel enthalten als wichtige Spezialfälle unter anderem G-Higgsbündel, Bradlow-Paare und gewisse Köcherdarstellungen. In dieser Arbeit erweitern wir diese GIT-Konstruktion des Modulraums affinier Higgsbündel auf den Fall affiner parabolischer Higgsbündel. Eine parabolische Struktur auf P über einer vorgegebenen Menge S von Punktierungen der kompakten Riemannschen Fläche X ist gegeben durch Reduktionen in Quotienten von P nach parabolischen Untergruppen von G. Als Hauptresultat zeigen wir, dass der resultierende Modulraum dekorierter parabolischer Hauptfaserbündel als quasi-projektives Schema über C existiert. Nach kleineren Modifikationen des Semistabilitätsbegriffes ergibt sich der Modulraum parabolischer G-Higgsbündel (siehe [Sim94]) für eine gewisse Wahl der assoziierenden Darstellung, d.h. für die adjungierte Darstellung von G auf ihrer Lie Algebra, als Spezialfall unserer allgemeinen Konstruktion. Weitere wichtige Anwendungen beinhalten die Konstruktion einer (verallgemeinerten) projektiven Hitchin-Abbildung vom Modulraum in ein affines Schema sowie eine Erweiterung der Ergebnisse von Nikolai Beck [Be14] zu Modulräumen punktweise dekorierter G-Hauptfaserbündel.