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Lazarovici, Dustin (2015): Mean field limits for charged particles. Dissertation, LMU München: Fakultät für Mathematik, Informatik und Statistik
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Abstract

The aim of this thesis is to provide a rigorous mathematical derivation of the Vlasov-Poisson equation and the Vlasov-Maxwell equations in the large N limit of interacting charged particles. We will extend a method previously proposed by Boers and Pickl to perform a mean field limit for the Vlasov-Poisson equation with the full Coulomb singularity and an N-dependent cut-off decreasing as $N^{-1/3 + \epsilon}$. We will then discuss an alternative approach, deriving the Vlasov-Poisson equation as a combined mean field and point-particle limit of an N-particle Coulomb system of extended charges. Finally, we will combine both methods to prove a mean field limit for the relativistic Vlasov-Maxwell system in 3+1 dimensions. In each case, convergence of the empirical measures to solutions of the corresponding mean field equation can be shown for typical initial conditions. This implies, in particular, the propagation of chaos for the respective dynamics.

Abstract

Ziel dieser Arbeit ist eine mathematische präzise Herleitung der Vlasov-Poisson Gleichung und der Vlasov-Maxwell Gleichungen als mean field Limes wechselwirkender Ladungen. Zu diesem Zweck erweitern wir zunächst eine Methode von Boers und Pickl auf den Coulomb-Fall mit einer N-abhängigen Regularisierung, die wie $N^{-1/3 + \epsilon}$ abfällt. Damit beweisen wir einen mean field Limes für das Vlasov-Poisson System. Anschließend präsentieren wir einen alternativen Beweis und leiten das Vlasov-Poisson System als kombinierten mean field und Punktteilchen-Limes eines N-Teilchen Coulomb-System ausgeschmierter Ladungen her. Schließlich kombinieren wir beide Methoden, um den mean field Limes für das relativistische Vlasov-Maxwell Systems in 3+1 Dimensionen durchzuführen. Die Konvergenz der empirischen Dichten gegen Lösungen der entsprechenden kinetischen Gleichung wird jeweils für typische Anfangsbedingungen gezeigt. Dies impliziert insbesondere molekulares Chaos für die jeweiligen Dynamiken.