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Araújo Edo, Mario (2015): Numerical gauge/gravity duality: disorder in strongly coupled matter. Dissertation, LMU München: Fakultät für Physik
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Abstract

In der vorliegenden Dissertation werden elektrische Eigenschaften stark gekoppelter Systeme in Anwesenheit von Störungen untersucht. Dies erfolgt anhand der Dualität zwischen Eich- und Gravitationstheorien, die eine Beschreibung solcher Systeme mittels einer schwach gekoppelten Gravitationstheorie ermöglicht. Besondere Aufmerksamkeit wird hierbei der Berechnung von Ladungsdichten und Leitfähigkeiten gewidmet, sowie der Untersuchung der von den Störungen hervorgerufenen Auswirkungen auf diese. Unseren Rechnungen liegt die AdS/CFT-Korrespondenz zugrunde. Diese besagt, dass konforme Quantenfeldtheorien im flachen Minkowskiraum höherdimensionalen Stringtheorien im Anti-de-Sitter Raum gleichzusetzen sind. Einen besonders interessanten Grenzfall stellt der Limes dar, in dem die Quantenfeldtheorie einer sehr stark gekoppelten mit vielen internen Freiheitsgraden ausgestatteten Eichsymmetrie unterliegt. Die duale Stringtheorie kann in diesem Falle zu einer klassischen Gravitationstheorie im Anti-de-Sitter Raum vereinfacht werden. Ein relevantes Merkmal, aus dem der große praktische Wert der Dualität entspringt, liegt hierbei in der Tatsache, dass aus schwach gekoppelten Gravitationstheorien stammende Ergebnisse im Rahmen stark gekoppelter Quantenfeldtheorien interpretierbar sind. Angesichts des hohen technischen Schwierigkeitsgrades, den stark gekoppelte Theorien aufweisen, macht diese Eigenschaft die Dualität zu einem mächtigen mathematischen Werkzeug hinsichtlich eines besseren Verständnisses der Physik letzterer. Trotz fehlendem formellem Beweis ihrer allgemeinen Gültigkeit hat die AdS/CFT-Korrespondenz im Laufe der letzten Jahre wichtige Fortschritte in diesem Zusammenhang zuwege gebracht. Hervorzuheben sind Berechnungen von Transportkoeffizienten stark gekoppelter Theorien wie Viskositäten, Leitfähigkeiten und Diffusionskonstanten. Störungen treten in realen physikalischen Systemen immer auf. Jedoch ist wenig über deren Auswirkungen auf stark gekoppelte Materie bekannt. Die AdS/CFT-Korrespondenz ebnet den Weg zu einem besseren Verständnis hiervon. Um den Einfluss von Unreinheiten auf die oben genannten Transporteigenschaften stark gekoppelter Systeme mithilfe der AdS/CFT-Korrespondenz zu untersuchen muss die Abhängigkeit der Felder von mindestens zwei Koordinaten vorausgesetzt werden. Die zugehörigen Bewegungsgleichungen sind partielle Differentialgleichungen, deren analytische Handhabung technisch nicht durchführbar ist. Rechnergestützte numerische Methoden stellen die einzige Möglichkeit dar, diesem Problem beizukommen. Besonders geeignet hierfür erweisen sich die sogenannten Spektralmethoden, deren Anwendung auf Rechnungen im Rahmen der AdS/CFT-Korrespondenz in Detail erläutert wird. In der vorliegenden Arbeit bedienen wir uns der oben erwähnten Methoden, um numerische Lösungen von Gravitationstheorien zu ermitteln, die aufgrund der Dualität inhomogenen stark gekoppelten Systemen fundamentaler Teilchen entsprechen. Die Störungen, deren Auswirkungen auf die Transporteigenschaften des dualen Systems zu untersuchen sind, werden durch eine nichttriviale räumliche Struktur von physikalischen Größen der Gravitationstheorie eingeführt. Diese wird in einer ersten Ausführung von einem stufigen raumabhängigen Massenprofil dargestellt, das eine lokalisierte Störung in Form einer Grenzoberfläche bildet. Der Analyse der resultierenden Ladungsdichten und Leitfähigkeiten kann entnommen werden, dass die Präsenz der Grenzoberfläche eine Lokalisierung der Ladungsdichte in derer unmittelbaren Umgebung bewirkt. Des Weiteren wird eine lokale Erhöhung der Leitfähigkeit bei niedrigen Frequenzen in der zur Grenzoberfläche parallelen Richtung festgestellt. In der senkrechten Richtung nimmt die Leitfähigkeit bei niedrigen Frequenzen einen konstanten Wert an und wird in Vergleich zur parallelen Richtung abgeschwächt. Das Hochfrequenzverhalten der Leitfähigkeiten in beiden Richtungen wird nicht von der Inhomogenität gestört und weist keine Unterschiede auf. In einem zweiten Fall wird die nichttriviale räumliche Struktur in Form einer zufälligen Raumabhängigkeit des chemischen Potenzials entlang einer Richtung eingeführt, die die Störungen in der lokalen Energie der Ladungsträger nachbildet. Dabei wird festgestellt, dass diese Art von delokalisierten Störungen ein globales Anwachsen der Ladungsdichte des Systems herbeiführt. Die Leitfähigkeit wird von den Störungen abgeschwächt und ihr Verhalten weist qualitative Übereinstimmung mit Modellen der Transporteigenschaften von Graphen in der Physik der kondensierten Materie.

Abstract

In this thesis electrical properties of strongly coupled systems are studied in the presence of disorder. This is done by means of the duality between gauge theories and gravity theories, which allows a description of such systems in terms of a weakly coupled gravity theory. Special attention is devoted to the computation of charge densities and conductivities as well as to the analysis of the effects triggered by the disorder upon these. Our computations are based on the AdS/CFT correspondence. It establishes that conformal quantum field theories in at Minkowski space are equivalent to string theories in a higher dimensional Anti-de-Sitter space. A particularly interesting extremal case is given by the limit in which the quantum field theory is underpinned by a very strongly coupled gauge symmetry with great many internal degrees of freedom. In that case the dual string theory may be simplified to a classical theory of gravity in Anti-de-Sitter space. A remarkable feature hereof giving rise to the great practical value of the duality is the fact that results stemming from a weakly coupled theory of gravity find an interpretation within a strongly coupled quantum field theory. Given the technical difficulties inherent to strongly coupled theories, this property renders the duality a powerful mathematical tool with regard to the physics of the latter. Despite lacking formal proofs of its general validity, during the last years the AdS/CFT correspondence has brought about important progresses in this context. The computation of transport coefficients in strongly coupled theories such as viscosities, conductivities and diffusion constants are some examples worth emphasising. In spite of its being a common feature in real world systems, little is known about the effects disorder has on strongly coupled matter. The AdS/CFT correspondence paves the way to a better understanding thereof. The study of the effects of impurities upon the transport properties mentioned above in strongly coupled systems by means of the AdS/CFT correspondence implies the dependence of the fields on at least two coordinates. The resulting equations of motion are partial differential equations, whose analytical treatment is technically unfeasible. The use of computational numerical techniques provides the only way of attacking this problem. The so-called spectral methods turn out to be specially well-suited for this purpose. We cover in detail their application to computations within the AdS/CFT correspondence. In the present thesis we make use of the mentioned methods to find numerical solutions to gravity theories which correspond via the duality to inhomogeneous strongly coupled systems of fundamental particles. The disorder, whose effects upon the transport properties of the dual system are to be analysed, is introduced by a non- rivial spatial structure of physical quantities in the gravity theory. This is given in a first realisation by a step-like spatially dependent mass profile which constitutes a localised impurity in the form of an interface. The study of the resulting charge density and conductivities reveals that the presence of the interface induces a localisation of the charge density in its vicinity. Furthermore, a local increase of the conductivity at low frequencies in the direction parallel to the interface caused by the presence of the interface is observed. In the direction transverse to it the conductivity at low frequencies takes a constant value and is supressed in comparison to the parallel direction. The high frequency behaviour of both conductivities is not affected by the inhomogeneity and no differences between them are found. In a second case the non-trivial spatial structure is introduced by a random spatial dependence of the chemical potential along a differentiated direction that mimics disorder in the on-site energy of the charge carriers. In this case it is observed that this kind of impurity leads to a global enhancement of the charge density of the system. The conductivity is suppressed by the disorder and its behaviour displays qualitative agreement with models within condensed matter physics for the transport properties of graphene.

Abstract

En la presente tesis se estudian propiedades eléctricas de sistemas fuertemente acoplados en presencia de desorden. Dicho estudio se lleva a cabo mediante la dualidad entre teorías de gauge y teorías de gravedad que posibilita una descripción de tales sistemas en términos de una teoría de gravedad con acople débil. Reciben especial atención el cálculo de densidades de carga y de conductividades, así como el análisis de los efectos provocados por el desorden sobre ellas. Nuestros cálculos se basan en la correspondencia AdS/CFT. Ésta establece la equivalencia entre teorías cuánticas de campos conformes en espaciotiempos planos de Minkowski y teorías de cuerdas en espacios Anti de Sitter con un mayor número de dimensiones. Un caso límite particularmente interesante es aquél en el que la teoría cuántica de campos está muy fuertemente acoplada y regida por una simetría interna de gauge con muchos grados de libertad. La teoría gravitacional dual puede en este caso reducirse a una teoría clásica de gravedad en un espacio Anti de Sitter. Una característica destacable, de la cuál se deriva la gran utilidad práctica de la dualidad, radica en la posibilidad de interpretar resultados procedentes de teorías gravitacionales con acople débil en el marco de teorías cuánticas de campos con acople fuerte. Dadas las dificultades técnicas ligadas a las teorías fuertemente acopladas, esta propiedad hace de la dualidad una poderosa herramienta matemática de cara a un mejor entendimiento de la física de tales teorías. Aún a falta de pruebas formales de su validez general, la correspondencia AdS/CFT ha posibilitado en los últimos años avances importantes en este contexto. Cabe destacar el cálculo de coeficientes de transporte de teorías con acople fuerte tales como viscosidades, conductividades y constantes de difusión. A pesar de ser un rasgo común de sistemas reales, se sabe bien poco acerca de los efectos que el desorden tiene sobre la materia fuertemente acoplada. La correspondencia AdS/CFT abre por ello la puerta a una mejor comprensión de éstos. El estudio del efecto de las impurezas sobre las mencionadas propiedades de transporte en sistemas con acople fuerte mediante la correspondencia AdS/CFT implica la dependencia de los campos de al menos dos coordenadas. Las ecuaciones de movimiento resultantes son ecuaciones diferenciales parciales, cuyo tratamiento analítico resulta técnicamente irrealizable. El uso de técnicas numéricas computacionales supone la única posibilidad de atacar este problema. Especialmente adecuados para tales fines resultan ser los conocidos como métodos espectrales, cuya aplicación a cálculos en el marco de la dualidad AdS/CFT presentamos detalladamente. En la presente tesis nos servimos de los métodos arriba mencionados para hallar soluciones numéricas de teorías gravitacionales que son mediante la dualidad equivalentes a teorías cuánticas de campos inhomogéneas y fuertemente acopladas de partículas fundamentales. Las impurezas, cuyos efectos sobre las propiedades de transporte del sistema dual se desea analizar, se introducen mediante una estructura espacial no trivial de las cantidades físicas de la teoría de gravedad. Ésta viene representada en una primera realización por un perfil de masas con una dependencia espacial en forma de escalón que constituye una impureza localizada en la forma de una interfaz. El estudio de la densidad de carga y las conductividades resultantes revela que la presencia de la interfaz induce una localización de la densidad de carga en las inmediaciones de aquélla. Asímismo se observa que la presencia del perfil de masas inhomogéneo considerado provoca un incremento local de la conductividad a bajas frecuencias en la dirección paralela a la interfaz. En la dirección perpendicular a ella la conductividad a bajas frecuencias adquiere un valor constante y se ve debilitada en comparación a la dirección paralela. El comportamiento a altas frecuencias de ambas conductividades no se ve afectado por la inhomogeneidad y no se aprecian diferencias entre ellas. En un segundo caso la estructura espacial no trivial viene introducida mediante una dependencia espacial aleatoria del potencial químico en una dirección que reproduce el desorden en la energía local de los portadores de carga. En este caso se advierte que este tipo de impureza deslocalizada provoca un crecimiento global de la densidad de carga del sistema. La conductividad se ve debilitada por el desorden y su comportamiento coincide cualitativamente con modelos sobre las propiedades de transporte del grafeno en física de la materia condensada.