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Grummt, Robert (2014): On quantum mechanical decay processes. Dissertation, LMU München: Fakultät für Mathematik, Informatik und Statistik
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Abstract

This thesis is concerned with quantum mechanical decay processes and their mathematical description. It consists out of three parts: In the first part we look at Laser induced ionization, whose mathematical description is often based on the so-called dipole approximation. Employing it essentially means to replace the Laser's vector potential $\vec A(\vec r,t)$ in the Hamiltonian by $\vec A(0, t).$ Heuristically this is justified under usual experimental conditions, because the Laser varies only slowly in $\vec r$ on atomic length scales. We make this heuristics rigorous by proving the dipole approximation in the limit in which the Laser's length scale becomes infinite compared to the atomic length scale. Our results apply to $N$-body Hamiltonians. In the second part we look at alpha decay as described by Skibsted (Comm. Math. Phys. 104, 1986) and show that Skibsted's model satisfies an energy-time uncertainty relation. Since there is no self-adjoint time operator, the uncertainty relation for energy and time can not be proven in the same way as the uncertainty relation for position and momentum. To define the time variance without a self-adjoint time operator, we will use the arrival time distribution obtained from the quantum current. Our proof of the energy-time uncertainty relation is then based on the quantitative scattering estimates that will be derived in the third part of the thesis and on a result from Skibsted. In addition to that, we will show that this uncertainty relation is different from the well known {\it linewidth-lifetime relation}. The third part is about quantitative scattering estimates, which are of interest in their own right. For rotationally symmetric potentials having support in $[0,R_V]$ we will show that for $R\geq R_V$, the time evolved wave function $e^{-iHt}\psi$ satisfies \begin{align}\nonumber \|\1_R e^{-iHt}\psi\|_2^2\leq c_1t^{-1}+c_2t^{-2}+c_3t^{-3}+c_4t^{-4} \end{align} with explicit quantitative bounds on the constants $c_n$ in terms of the resonances of the $S$-Matrix. While such bounds on $\|\1_R e^{-iHt}\psi\|_2$ have been proven before, the quantitative estimates on the constants $c_n$ are new. These results are based on a detailed analysis of the $S$-matrix in the complex momentum plane, which in turn becomes possible by expressing the $S$-matrix in terms of the Jost function that can be factorized in a Hadamard product.

Abstract

Gegenstand dieser Arbeit ist die mathematische Beschreibung von quantenmechanischen Zerfallsprozessen. Im ersten von drei Teilen, werden wir die durch Laser induzierte Ionisation von Atomen untersuchen, die üblicherweise mit Hilfe der sogenannten Dipolapproximation beschrieben wird. Bei dieser Approximation wird das Vektorpotential $\vec A(\vec r,t)$ des Lasers im Hamiltonoperator durch $\vec A(0, t)$ ersetzt, was oft dadurch gerechtfertigt ist, dass sich das Vektorpotential des Lasers auf atomaren Längenskalen in $\vec r$ kaum verändert. Ausgehend von dieser Heuristik werden wir die Dipolapproximation in dem Limes beweisen, in dem die Wellenlänge des Lasers im Verhältnis zur atomaren Längenskala unendlich groß wird. Unsere Resultate sind auf $N$-Teilchen Systeme anwendbar. Im zweiten Teil wenden wir uns dem Alphazerfallsmodell von Skibsted (Comm. Math. Phys. 104, 1986) zu und beweisen, dass es eine Energie-Zeit Unschärfe erfüllt. Da kein selbstadjungierter Zeitoperator existiert, kann die Energie-Zeit Unschärfe nicht auf gleiche Weise wie die Orts-Impuls Unschärfe bewiesen werden. Um ohne einen selbstadjungierten Zeitoperator Zugriff auf die Zeitvarianz zu bekommen, werden wir mit Hilfe des quantenmechanischen Wahrscheinlichkeitsstroms eine Ankunftszeitverteilung definieren. Der Beweis der Energie-Zeit Unschärfe folgt dann aus einem Resultat von Skibsted und aus den quantitativen Streuabschätzungen, die im dritten Teil der Dissertation bewiesen werden. Darüber hinaus werden wir zeigen, dass diese Unschärfe von der {\it linewidth-lifetime relation} zu unterscheiden ist. Hauptresultat des dritten Teils sind quantitative Streuabschätzungen, die als eigenständiges Resultat von Interesse sind. Für rotationssymmetrische Potentiale mit Träger in $[0,R_V]$ werden wir für alle $R\geq R_V$ die Abschätzung \begin{align}\nonumber \|\1_R e^{-iHt}\psi\|_2^2\leq c_1t^{-1}+c_2t^{-2}+c_3t^{-3}+c_4t^{-4} \end{align} beweisen und darüber hinaus, das ist das Novum, quantitative Schranken für die Konstanten $c_n$ angeben, die von den Resonanzen der $S$-Matrix abhängen. Um zu diesen Schranken zu gelangen, werden wir die analytische Struktur der $S$-Matrix studieren, indem wir die Beziehung der $S$-Matrix zur Jost-Funktion ausnutzen und die wiederum in ein Hadamard-Produkt zerlegen.