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Huber, Matthias (2008): Modelle relativistischer und nicht-relativistischer Coulomb-Systeme. Dissertation, LMU München: Faculty of Mathematics, Computer Science and Statistics
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Abstract

Die Arbeit behandelt verschiedene Modelle der Quantenelektrodynamik aus Sicht der Mathematik. Zunächst wird die Fortsetzung der Douglas-Kroll-Heß-Transformation für Systeme mit mehr als einem Teilchen diskutiert. Anschließend folgt eine ausführliche Untersuchung verschiedener Eigenschaften komplex dilatierter Dirac-Operatoren. Insbesondere werden positive und negative Spektralprojektionen sowie entsprechende Transformationsfunktionen eingeführt. Ferner wird der nicht-relativistische Limes solcher Operatoren untersucht. Diese Ergebnisse dienen als technische Vorbereitung zur Behandlung eines relativistischen Modells der Quantenelektrodynamik, sind jedoch auch von unabhängigem Interesse. In einem weiteren Kapitel wird das Dirac-Fock-Funktional im Falle schwacher Elektron-Elektron-Wechselwirkung behandelt. Insbesondere wird die Existenz von Lösungen der Dirac-Fock-Gleichungen mit bestimmten zusätzlichen Eigenschaften gezeigt. Es wird bewiesen, dass diese Lösungen gewisse Minimierungseigenschaften bezüglich des Dirac-Fock-Funktionals aufweisen. Schließlich wird die Wechselwirkung von Materie mit dem quantisierten elektromagnetischen Feld untersucht. Im Pauli-Fierz-Modell sowie in einem relativistischen Modell werden dabei obere und untere Schranken an die Lebensdauer angeregter Zustände bewiesen.

Abstract

This thesis discusses different models of quantum electrodynamics from a mathematical point of view. First, the continuation of the Douglas-Kroll-Heß transformation for systems with more than one particle will be discussed. Then follows a thorough investigation of different properties of complex dilated Dirac operators. In particular, positive and negative spectral projections and the corresponding transformation functions will be introduced. Moreover, the non-relativistic limit of such operators will be examined. These results serve as a preparation for the discussion of a relativistic model of quantum electrodynamics, but are also of independent interest. In a further chapter, the Dirac-Fock functional in the case of weak electron-electron interaction will be discussed. In particular, the existence of solutions of the Dirac-Fock equations with certain additional properties will be shown. It will be proven that these solution have certain minimizing properties with regard to the Dirac-Fock functional. Eventually, the interaction of matter with the second quantized radiation field will be investigated. For the Pauli-Fierz model and a relativistic model, an upper and lower bound of the life time of excited states will be shown.