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Brunnbauer, Michael (2008): Topological properties of asymptotic invariants and universal volume bounds. Dissertation, LMU München: Faculty of Mathematics, Computer Science and Statistics
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Abstract

In this thesis, we prove that many asymptotic invariants of closed manifolds depend only on the image of the fundamental class under the classifying map of the universal covering. Examples include numerical invariants that reflect the asymptotic behaviour of the universal covering, like the minimal volume entropy and the spherical volume, as well as properties that are qualitative measures for the largeness of a manifold and its coverings, like enlargeability and hypersphericity. Another important class of invariants that share the above invariance property originates from universal volume bounds. The main example is the systolic constant, which encodes the relation between short noncontractible loops and the volume of a manifold. Further interesting examples are provided by the optimal constants in Gromov's filling inequalities, for which we show that they depend only on the dimension and orientability. Considering higher-dimensional generalizations of the systolic constant, a complete answer to the question about the existence of stable systolic inequalities is given. In the spirit of the results mentioned already, we also prove that the stable systolic constant depends only on the image of the fundamental class in a suitable Eilenberg-Mac Lane space.

Abstract

In dieser Arbeit wird gezeigt, dass viele asymptotische Invarianten geschlossener Mannigfaltigkeiten nur vom Bild der Fundamentalklasse unter der klassifizierenden Abbildung der universellen Überlagerung abhängen. Hierzu zählen sowohl numerische Invarianten, die das asymptotische Verhalten der universellen Überlagerung widerspiegeln, wie die minimale Volumenentropie und das sphärische Volumen, als auch Eigenschaften, die qualitative Maße für die Größe einer Mannigfaltigkeit und ihrer Überlagerungen darstellen, wie Vergrößerbarkeit und Hypersphärizität. Eine weitere wichtige Klasse von Invarianten, die die obige Invarianzeigenschaft teilen, erhält man aus universellen Volumenschranken. Das wichtigste Beispiel hierfür ist die systolische Konstante, die das Verhältnis zwischen kurzen nichtzusammenziehbaren Schleifen und dem Volumen einer Mannigfaltigkeit wiedergibt. Weitere interessante Beispiele werden durch die optimalen Konstanten in Gromovs Filling-Ungleichungen gegeben, von denen gezeigt wird, dass sie nur von der Dimension und der Orientierbarkeit abhängen. Bei der Betrachtung höher-dimensionaler Verallgemeinerungen der systolischen Konstante wird eine vollständige Antwort auf die Frage nach der Existenz stabiler systolischer Ungleichungen gefunden. In Analogie zu den oben erwähnten Ergebnissen wird bewiesen, dass die stabile systolische Konstante nur vom Bild der Fundamentalklasse in einem passenden Eilenberg-MacLane-Raum abhängt.