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Ruschhaupt, Markus (2008): Erzeugung von positiv definiten Matrizen mit Nebenbedingungen zur Validierung von Netzwerkalgorithmen für Microarray-Daten. Dissertation, LMU München: Faculty of Mathematics, Computer Science and Statistics
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Abstract

Microarray-Daten werden in letzter Zeit häufig genutzt, um mit Hilfe verschiedener Verfahren Netzwerke der Gen-Gen-Interaktion zu generieren. Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit Validierungsstudien solcher Verfahren. Der Startpunkt einer Validierungsstudie ist ein ungerichteter Graph, der biologische Strukturen repräsentieren soll. In dieser Arbeit wird motiviert, Graphen zu benutzen, die aus Microarray-Daten geschätzt worden sind. Nachdem ein Graph gewählt worden ist, werden Daten einer multivariaten Normalverteilung erzeugt, die durch eine zufällige Kovarianzmatrix charakterisiert ist. Diese Matrix muss symmetrisch und positiv definit sein, aber zusätzlich wird für eine nicht vorhandene Kante im Graphen gefordert, dass der zugehörige Eintrag in der Matrix Null ist. In dieser Arbeit wird ein neuer Ansatz vorgestellt, der es ermöglicht, symmetrische, positiv definite Matrizen mit Nebenbedingungen zu erzeugen. Diese Methode beruht auf der Moralisierung eines Graphen. Ein gerichteter, azyklischer Graph wird moralisiert, indem die gerichteten Kanten durch ungerichtete Kanten ersetzt werden und zusätzlich die Eltern eines jeden Knotens paarweise miteinander verbunden werden. Der zentrale Schritt bei der Erstellung der Matrizen mit Nebenbedingungen liegt in der Umkehrung des Moralisierungsvorganges. In dieser Arbeit wird die Klasse der Graphen eingeführt, die Resultat einer Moralisierung sein könnten - die prämoralisierbaren Graphen - und es wird ein Verfahren definiert, welches entscheidet, ob ein Graph prämoralisierbar ist und gegebenenfalls eine Umkehrung der Moralisierung durchführt. Die erzeugten Matrizen sollen als Korrelationsmatrizen für die Validierungsstudien genutzt werden. Dazu wird das vorgestellte Verfahren an einen Optimierungsalgorithmus gekoppelt, um die gewünschten Matrizen zu erzeugen, deren Diagonalelemente identisch 1 sind und für die die nicht als Null vorgegebenen Werte nahe 1 bzw. -1 liegen. Nicht jeder Graph ist prämoralisierbar. Da diese Eigenschaft notwendig ist für das Verfahren zur Erzeugung der Matrizen mit Nebenbedingungen, wird eine empirische Studie durchgeführt, die zeigt, dass ein Großteil der aus Microarray-Daten geschätzten Graphen auch prämoralisierbar ist. Die Arbeit schließt mit praktischen Anwendungen. Die Validierung eines bekannten Algorithmus zum Schätzen von Netzwerken wird durchgeführt und es wird ein Ansatz vorgestellt, mit dem man graphische Strukturen, die aus Microarray-Daten geschätzt worden sind, vergleichen kann, um signifikante Unterschiede zu finden.