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Schraml, Stefan (2001): Untersuchung nichtkommutativer Räume als Grundlage für physikalische Probleme. Dissertation, LMU München: Faculty of Physics
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Abstract

Aufgrund der in der Quantenfeldtheorie auftretenden Singularitäten und der Inkonsistenzen beim Versuch einer Quantisierung der Gravitation wird oft angenommen, dass die glatte kommutative Raumzeit-Struktur bei sehr kleinen Abständen, und entsprechend sehr hohen Energien, nichtkommutativ wird. In dieser Arbeit werden solche nichtkommutativen Strukturen untersucht. Explizit werden sie durch eine Algebra von nichtkommutierenden Koordinaten beschrieben, welche die Funktionenalgebra eines kommutativen Raums ersetzt. Eine besondere Rolle spielen so genannte q-deformierte Quantenräume, da bei diesen nicht nur der Raum selbst nichtkommutativ wird, sondern die Symmetriegruppe des Raumes ebenfalls abgeändert wird. Auf diese Weise erhält man Quantengruppen. Im ersten Teil der Arbeit wird als spezielles Beispiel der q-deformierte dreidimensionale euklidische Raum studiert. Um die Darstellungen in einfacher Weise zu gewinnen, wird die den Raum definierende Algebra im Produkt zweier miteinander kommutierender Algebren realisiert. Weiter wird mit Hilfe dieser Zerlegung die nichtkommutative Algebra in die Algebra der Dierenzialoperatoren auf dem kommutativen R3 eingebettet. Die Koordinatenalgebra wird dann noch um Impulsoperatoren erweitert, womit man eine q-deformierte Heisenbergalgebra erhält. Es werden Darstellungen dieser Algebra betrachtet; insbesondere wird sie auf der Koordinatenalgebra selbst realisiert, dies entspricht der Ortsdarstellung in der gewöhnlichen Quantenmechanik. Eichtheorien bilden eine Möglichkeit, konkrete physikalische Modelle zu erhalten. Der zweite Teil der Arbeit beschäftigt sich daher mit dem Versuch, Eichtheorien auf nichtkommutativen Räumen zu formulieren. Dazu wird zunächst das Konzept kovarianter Koordinaten und kovarianter Ableitungen eingeführt. Mit diesen können Tensoren konstruiert werden, die der Feldstärke in gewöhnlichen Eichtheorien entsprechen. Mit Hilfe dieser Tensoren erhält man eine Wirkung, welche eine Beschreibung der Dynamik der Eichfelder ermöglicht. Es stellt sich heraus, dass es möglich ist, Eichtheorien auf nichtkommutativen Räumen mit Eichtheorien auf kommutativen Räumen in Verbindung zu bringen (Seiberg-Witten-Abbildung). Dies wird insbesondere unter dem Gesichtspunkt vorgestellt, dass es damit möglich ist, einhüllenwertige Eichtheorien mit endlich vielen Eichfeldkomponenten und Eichparametern zu beschreiben. Zur Konstruktion dieser Abbildung wird das Sternprodukt von Funktionen kommutierender Variabler benutzt. Es wird daher eine kurze Einführung in den Sternformalismus gegeben, und es werden auch einige nichtkommutative Strukturen als Beispiele behandelt.