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Münder, Wolfgang (2011): Matrix product state clculations for one-dimensional quantum chains and quantum impurity models. Dissertation, LMU München: Faculty of Physics
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Abstract

This thesis contributes to the field of strongly correlated electron systems with studies in two distinct fields thereof: the specific nature of correlations between electrons in one dimension and quantum quenches in quantum impurity problems. In general, strongly correlated systems are characterized in that their physical behaviour needs to be described in terms of a many-body description, i.e. interactions correlate all particles in a complex way. The challenge is that the Hilbert space in a many-body theory is exponentially large in the number of particles. Thus, when no analytic solution is available - which is typically the case - it is necessary to find a way to somehow circumvent the problem of such huge Hilbert spaces. Therefore, the connection between the two studies comes from our numerical treatment: they are tackled by the density matrix renormalization group (DMRG) [1] and the numerical renormalization group (NRG) [2], respectively, both based on matrix product states. The first project presented in this thesis addresses the problem of numerically finding the dominant correlations in quantum lattice models in an unbiased way, i.e. without using prior knowledge of the model at hand. A useful concept for this task is the correlation density matrix (CDM) [3] which contains all correlations between two clusters of lattice sites. We show how to extract from the CDM, a survey of the relative strengths of the system’s correlations in different symmetry sectors as well as detailed information on the operators carrying long-range correlations and the spatial dependence of their correlation functions. We demonstrate this by a DMRG study of a one-dimensional spinless extended Hubbard model [4], while emphasizing that the proposed analysis of the CDM is not restricted to one dimension. The second project presented in this thesis is motivated by two phenomena under ongoing experimental and theoretical investigation in the context of quantum impurity models: optical absorption involving a Kondo exciton [5, 6, 7] and population switching in quantum dots [8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15]. It turns out that both phenomena rely on the various manifestations of Anderson orthogonality (AO) [16], which describes the fact that the response of the Fermi sea to a quantum quench (i.e. an abrupt change of some property of the impurity or quantum dot) is a change of the scattering phase shifts of all the single-particle wave functions, therefore drastically changing the system. In this context, we demonstrate that NRG, a highly accurate method for quantum impurity models, allows for the calculation of all static and dynamic quantities related to AO and present an extensive NRG study for population switching in quantum dots.

Abstract

In dieser Doktorarbeit werden zwei Felder aus dem Gebiet der stark korrelierten elektronischen Systeme behandelt: die spezifische Natur von Korrelationen zwischen Elektronen in einer Dimension und die Folgen eines Quanten-Quenches in Quanten-Störstellenmodellen. Ganz allgemein sind stark korrelierte Systeme dadurch charakterisiert, dass ihr physikalisches Verhalten durch eine Vielteilchentheorie beschrieben werden muss, d.h. Wechselwirkungen korrelieren alle Teilchen auf komplexe Weise. Die Herausforderung hierbei ist, dass der Hilbertraum in einer Vielteilchentheorie exponentiell groß ist in der Anzahl der Teilchen. Wenn also keine analytische Lösung verfügbar ist - was typischerweise der Fall ist - ist es notwendig das Problem solch großer Hilberträume irgendwie zu umgehen. Daher besteht die Verbindung zwischen den beiden Studien in dieser Arbeit aus ihrer numerischen Behandlung: sie machen Gebrauch von der Dichtematrix-Renormierungsgruppe (DMRG) [1] bzw. der numerischen Renormierungsgruppe (NRG) [2], die beide auf Matrixproduktzuständen basieren. Das erste Projekt dieser Arbeit behandelt das Problem wie man auf numerische Weise die dominanten Korrelationen in Quanten-Gittermodellen finden kann, und zwar unvoreingenommen, also ohne Vorwissen über das aktuelle Modell. Ein nützliches Konzept dafuür ist die Korrelations-Dichtematrix (CDM) [3], die alle Korrelationen zwischen zwei Gruppen von Gitterplätzen beinhaltet. Wir zeigen wie man aus der CDM einen Überblick über die relative Stärke der Korrelationen aus verschiedenen Symmetriesektoren extrahieren kann. Weiterhin wird gezeigt wie man detaillierte Informationen über die Operatoren gewinnt, die langreichweitige Korrelationen besitzen, wie die räumliche Abhängigkeit ihrer Korrelationsfunktionen. Wir demonstrieren dies mittels einer DMRG-Studie eines eindimensionalen, spinlosen, erweiterten Hubbard-Modells [4], wobei betont werden muss, dass die vorgeschlagene Analyse der CDM nicht auf eine Dimension beschränkt ist. Das zweite Projekt dieser Arbeit ist motiviert durch zwei Phänomene aus dem Gebiet der Quanten-Störstellenmodelle, deren experimentelle und theoretische Behandlung immer noch andauert: optische Absorption im Zusammenhang mit einem Kondo-Exziton [5, 6, 7] und Besetzungsvertauschung in Quantenpunkten [8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15]. Es stellt sich heraus, dass beide Phänomene auf den zahlreichen Aspekten der Anderson-Orthogonalität (AO) [16] beruhen. Diese beschreibt die Tatsache, dass die Reaktion des Fermisees auf einen Quanten-Quench (also einer abrupten Änderung einer Eigenschaft der Störstelle oder des Quantenpunktes) die Änderung aller Streuphasenverschiebungen aller Einteilchenwellenfunktionen ist, wodurch das System drastisch verändert wird. In diesem Zusammenhang zeigen wir dass NRG (eine äußerst genaue Methode für Quanten-Störstellenmodelle) für die Berechnung aller statischen und dynamischen Größen im Zusammenhang mit AO geeignet ist. Darauf aufbauend präsentieren wir eine ausführliche NRG-Studie der Besetzungsvertauschung in Quantenpunkten.