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Höffer v. Loewenfeld, Philipp (2010): Resolution of Curvature Singularities in Black Holes and the Early Universe. Dissertation, LMU München: Faculty of Physics
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Abstract

This thesis is concerned with two approaches on the singularity problem of the general theory of relativity. The first is of bottom-up nature. We start from Einstein's well established general relativity and make an educated guess for an asymptotically equivalent but non-singular theory. In the second approach we take the top-down perspective starting with the assumption that string theory gives the fundamental description of nature and analyse the resulting low energy effective theory. Our bottom-up approach is an application of the limiting curvature hypothesis to anisotropic cosmologies. This extends the success for isotropic cosmologies of Brandenberger et al. Applying the LCH, they constructed a theory in which all homogeneous and isotropic solutions are singularity free. Due to the non-analytic nature of the equations we were unable repeat the proof in the anisotropic case, but analytical and numerical analysis produce circumstantial evidence for a resolution of the singularity in this case as well. Generically this resolution seems not to involve a de Sitter phase as expected. Instead it would interpolate between a contracting anisotropic universe and a universe, that time-symmetrically expands anisotropically. During this transition spacetime evolves through a nearly flat, Minkowski phase. This solution could represent an alternative to the so-called bounce solutions as they appear in pre-big-bang scenarios. In our top-down approach we construct a simple model in type IIA super string theory. With a non-BPS D7 or D9 brane we introduce a tachyonic degree of freedom. Its potential is influenced by the compact background wrapped by the brane. In a way the mass can be tuned by the size of the compact dimension. We use a truncated action which was constructed in order to approximate the full string theory result for the dynamical creation and decay of non-BPS branes quite accurately. Taking the lowest order effective action for metric, dilaton and an effective action for the open tachyonic mode, we obtaine bounce solutions. The bounce results from the positivity of the pressure of the tachyon field in our Lagrangian. Both curvature and time derivative of the dilaton remain small during our bounce so that the gravitational sector behaves entirely classical. Asymptotically our bounce solutions are similar to pre-big bang and post-big bang solutions respectively. Thus there remain singularities in the curvature and the dilaton before or after the bounce. These asymptotic string frame curvature singularities can be resolved by the ad hoc addition of a potential term, that might result from alpha' corrections in the open string sector. Exact calculation of the corrections would be necessary in order to give a more precise picture.

Abstract

Diese Dissertation beschäftigt sich in zwei Ansätzen mit dem Problem von Singularitäten in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Im ersten gehen wir von der einsteinschen Theorie aus und stellen eine Vermutung für eine asymptotisch äquivalente aber nichtsinguläre Theorie auf. Im zweiten Ansatz beginnen wir bei der Stringtheorie als fundamentaler Beschreibung der Welt und untersuchen die aus dieser Annahme resultierende effektive Theorie bei niedrigen Energien. Der erste Ansatz stellt eine Anwendung der Hypothese über die Krümmungsbegrenzung ("limiting curvature hypothesis") auf anisotrope Kosmologien dar. Dies erweitert die Betrachtung isotroper Kosmologien von Brandenberger et al. Diese konstruierten eine Theorie, in der alle homogenen und isotropen Lösungen frei von Singularitäten sind. Auf Grund der Nichtanalytizität der Gleichungen gelang es uns nicht, diesen Beweis im anisotropen Fall zu wiederholen. Dennoch deutet die analytische und numerische Untersuchung auf eine Auflösung der Singularitäten auch in diesem Fall hin. Generisch scheint die Auflösung nicht wie erwartet durch eine de-Sitter-Phase zu erfolgen. Stattdessen verbindet die Lösung ein kontrahierendes anisotropes Universum mit einem in zeitsymmetrischer Weise expandierenden. Der Übergang erfolgt in einer näherungsweise flachen Minkowski-Phase. Diese Lösung könnte eine Alternative zu den sogenannten Bounce-Lösungen darstellen, wie sie in Pre-Big-Bang-Modellen vorkommen. Im zweiten Ansatz konstruieren wir ein einfaches Modell in der Typ-IIA-Superstring-Theorie. Mit einer D7- oder D9-Bran, welche die BPS-Bedingung nicht erfüllt, führen wir einen tachyonischen Freiheitsgrad ein. Dessen Potenzial wird durch den kompakten Hintergund, auf den die Bran gewickelt ist, beeinflusst. In gewissem Sinn kann die Masse durch die Größe der kompakten Dimension eingestellt werden. Wir verwenden eine trunkierte Wirkung, welche so konstruiert ist, dass das Verhalten der vollen Stringtheorie bei dynamischer Erzeugnung und Zerfall von Nicht-BPS-Branen möglichst gut reproduziert wird. In niedrigster Ordnung von Metrik und Dilaton sowie der tachyonischen Anregung finden wir Bounce-Lösungen. Diese werden ermöglicht durch die Tatsache, dass das Tachyon in der verwendeten Wirkung stets mit positivem Druck auftritt. Sowohl Krümmung als auch die Zeitableitungen des Dilatons sind während des Bounces klein, so dass die Gravitation vollständig klassisch betrachtet werden kann. Die gefundenen Bounce-Lösungen nähern sich asymptotisch den Pre-Big-Bang- oder Post-Big-Bang-Lösungen an, so dass Singularitäten in Krümmung und Dilaton vor oder nach dem Bounce verbleiben. Diese Singularitäten im String-Bezugssystem können durch ein ad hoc eingeführtes, zusätzliches Potenzial aufgelöst werden. Ein solches könnte durch Alpha'-Korrekturen im Offenen-String-Sektor herrühren, deren exakte Berechnung für belastbare Aussagen erforderlich wäre.