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Weiß, Christoph (2010): Subtle and Ineffable Tree Properties. Dissertation, LMU München: Faculty of Mathematics, Computer Science and Statistics
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Abstract

In the style of the tree property, we give combinatorial principles that capture the concepts of the so-called subtle and ineffable cardinals in such a way that they are also applicable to small cardinals. Building upon these principles we then develop a further one that even achieves this for supercompactness. We show the consistency of these principles starting from the corresponding large cardinals. Furthermore we show the equiconsistency for subtle and ineffable. For supercompactness, utilizing the failure of square we prove that the best currently known lower bounds for consistency strength in general can be applied. The main result of the thesis is the theorem that the Proper Forcing Axiom implies the principle corresponding to supercompactness.

Abstract

In Anlehnung an die Baumeigenschaft geben wir kombinatorische Prinzipien an, die die Konzepte der sogenannten subtle und ineffable Kardinalzahlen so einfangen, dass diese auch für kleine Kardinalzahlen anwendbar sind. Auf diesen Prinzipien aufbauend entwickeln wir dann ein weiteres, das dies sogar für superkompakte Kardinalzahlen leistet. Wir zeigen die Konsistenz dieser Prinzipien ausgehend von den jeweils entsprechenden großen Kardinalzahlen. Zudem zeigen wir die Äquikonsistenz für subtle und ineffable. Für Superkompaktheit beweisen wir durch das Fehlschlagen des Quadratprinzips, dass die besten derzeit bekannten unteren Schranken für Konsistenzstärke anwendbar sind. Das Hauptresultat der Arbeit ist das Ergebnis, dass das Proper Forcing Axiom das der Superkompaktheit entsprechende Prinzip impliziert.