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Wohlgenannt, Michael (2003): Field Theoretical Models on Non-Commutative Spaces. Dissertation, LMU München: Faculty of Physics
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Abstract

Aus vielen voneinander unabhängigen Überlegungen wird klar, daß die Raum-Zeit im Kleinen, oder mit sehr großen Energien betrachtet, in irgendeiner Form nichtkommutativ oder quantisiert sein muss. Diese Arbeit beschäftigt sich mit zwei verschiedenen Arten der Nichtkommutativität der Raum-Zeit und mit eichtheoretischen Modellen auf solchen Räumen. Wir werden die nichtkommutativen Konzepte via eines Isomorphismus auf kommutative Räume übertragen. Die Information über die nichtkommutative Struktur versteckt sich in einem neuen nichtabelschen Produkt, dem sogenannten *-Produkt. Das Sternprodukt ist gegeben durch eine störungstheoretische Formel. Daher ist der kommutative Limes, in dem die Nichtkommutativität verschwindet, und die gewohnten Strukturen zurückkehren, sehr gut erkennbar. Wir betrachten also die Konstruktion des Sternproduktes als ersten Schritt in Richtung feldtheoretischer Modelle auf einem nichtkommutativen Raum. So werden im ersten Teil die Sternprodukte für den 4-dimensionalen q-deformierten Euklidischen und Minkowski Raum in Normalordnung berechnet. Hier für können wir geschlossene Ausdrücke angeben. Allerdings werden q-deformierte Räume in dieser Arbeit nicht weiter verfolgt. Stattdessen werden wir uns mit kanonisch deformierten und kappa-deformierten Räumen befassen. Kanonisch deformierte Räume haben den Nachteil, dass die klassischen Symmetrien gebrochen sind. Dagegen erlauben sowohl q- als auch kappa-deformierte Räume verallgemeinerte Symmetriestrukturen. Die Symmetrien werden durch Quantengruppen beschrieben. Rechnerisch sind kanonische Strukturen leichter handzuhaben. Wir werden das Standardmodell der Elemetarteilchenphysik auf kanonischer Raum-Zeit formulieren. Dabei legen wir großen Wert darauf, zu zeigen, dass sowohl der Higgs Mechanismus als auch der Yukawa Sektor im nichtkommutativen Modell implementiert werden können. Wir entwickeln die Wirkung störungstheoretisch bis zur ersten Ordnung in der Nichtkommutativität. Die zusätzlichen Terme in erster Ordnung entsprechen neuen Wechselwirkungen. Diese neuen Wechselwirkungen haben weitreichende phänomenologische Bedeutung und erlauben eine experimentelle Suche nach Anzeichen, die auf die Nichtkommutativität der Raum-Zeit hindeuten. Darüber hinaus sind wir bemüht, auch Modelle auf kappa-deformierten Räumen zu betrachten, die sowohl eine verallgemeinerte Poincare' Symmetry besitzen, als auch symmetrisch unter einer beliebigen Eichgruppe sind. Dabei legen wir der Eichtheorie die gleichen Konzepte zugrunde wie im Falle der kanonischen Raum-Zeit. Da die Strukturen vielfältiger sind, werden wir auf interessante Unterschiede stoßen. So ist das Eichfeld nicht nur ein Element der einhüllenden Algebra der Eichgruppe, sondern auch der Poincare' Gruppe. Für die Formulierung von Lagrange-Modellen fehlt allerdings im Moment noch ein invariantes Integral. Feldgleichungen können allerdings hergeleitet werden. Wir werden, auf eindeutige Weise, eine kappa-Poincare' kovariante Klein-Gordon und Dirac Gleichung aufstellen. Weiters werden wir alle Ergebnisse in den *-Formalismus und auf kommutative Räume übersetzen.